Operasi Aljabar pada Bilangan Rasional, Berpangkat, dan Bentuk Akar

 Operasi Aljabar pada Bilangan Rasional, Berpangkat, dan Bentuk Akar

---

1. Operasi Bilangan Rasional

A. Penjumlahan/Pengurangan

• Syarat: Penyebut harus sama. Jika berbeda, samakan dengan KPK.

• Contoh:

  $$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$$

B. Perkalian/Pembagian

• Perkalian: Kalikan pembilang × pembilang, penyebut × penyebut.

  $$\frac{3}{5}\times \frac{2}{7}=\frac{6}{35}$$

• Pembagian: Balik pecahan kedua lalu kalikan.

  $$\frac{4}{9}÷\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\times \frac{3}{2}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$$

---

2. Operasi Bilangan Berpangkat

A. Sifat-Sifat Pangkat

1. $a^m\times a^n=a^{m+n}$

   $$2^3\times 2^4=2^7=128$$

2. $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

   $$\frac{5^6}{5^2}=5^4=625$$

3. $(a^m{)}^n=a^{m\times n}$

   $$(3^2{)}^3=3^6=729$$

4. $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

   $$2^{-3}=\frac{1}{8}$$

B. Pangkat Pecahan

• $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

  $$8^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{8}{)}^2=2^2=4$$

---

3. Operasi Bentuk Akar

A. Sifat-Sifat Akar

1. $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$

   $$\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=2\sqrt{3}$$

2. $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

   $$\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$$

3. $a\sqrt{c}\pm b\sqrt{c}=(a\pm b)\sqrt{c}$

   $$3\sqrt{5}+2\sqrt{5}=5\sqrt{5}$$

B. Merasionalkan Penyebut

• Contoh:

  $$\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$

---

4. Gabungan Operasi

Contoh Soal:
Sederhanakan:

$${\left(\frac{2\sqrt{3}\times 3^{\frac{1}{2}}}{6}\right)}^2$$

Penyelesaian:

1. Ubah $3^{\frac{1}{2}}$ jadi $\sqrt{3}$.

2. Kalikan pembilang:

   $$2\sqrt{3}\times \sqrt{3}=2\times 3=6$$

3. Bagi dengan penyebut:

   $$\frac{6}{6}=1$$

4. Pangkatkan hasilnya:

   $$1^2=1$$

---

Ringkasan

1. Bilangan Rasional:

   • Penjumlahan/pengurangan butuh penyebut sama.

   • Perkalian/pembagian langsung operasikan pembilang dan penyebut.

2. Bilangan Berpangkat:

   • Gunakan sifat $a^m\times a^n=a^{m+n}$ dan lainnya.

   • Pangkat pecahan terkait dengan akar.

3. Bentuk Akar:

   • Sederhanakan dengan memfaktorkan bilangan kuadrat sempurna.

   • Rasionalkan penyebut jika mengandung akar.

Latihan Soal:

1. Hitung: $\frac{4\sqrt{2}\times 2^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{8}}$. (Jawab: 2)

2. Rasionalkan: $\frac{5}{1+\sqrt{3}}$. (Jawab: $\frac{5(1-\sqrt{3})}{-2}$)

Explore more at Quizizz.

BuSet Mei 01, 2025 Tags : Matematika , OSN , SMP

Subscribe by Email

Follow Updates Articles from This Blog via Email