Materi Pembelajaran: Transformasi Geometri (Refleksi, Translasi, Rotasi, Dilatasi)

Materi Pembelajaran: Transformasi Geometri

(Refleksi, Translasi, Rotasi, Dilatasi)

---

1. Pengertian Transformasi Geometri

Transformasi adalah perubahan posisi, ukuran, atau bentuk suatu objek geometri. Ada 4 jenis utama:

1. Refleksi (Pencerminan)

2. Translasi (Pergeseran)

3. Rotasi (Perputaran)

4. Dilatasi (Penskalaan)

---

2. Refleksi (Pencerminan)

Definisi: Perubahan posisi objek terhadap garis atau titik tertentu (seperti cermin).

Rumus Refleksi terhadap Garis

Sumbu Pencerminan	Transformasi Titik $(x,y)$
Sumbu $X$	$(x,-y)$
Sumbu $Y$	$(-x,y)$
Garis $y=x$	$(y,x)$
Garis $y=-x$	$(-y,-x)$
Garis $x=h$	$(2h-x,y)$
Garis $y=k$	$(x,2k-y)$

Contoh:
Titik $A(2,3)$ dicerminkan terhadap sumbu $X$ → $A^{\mathrm{\prime }}(2,-3)$.

---

3. Translasi (Pergeseran)

Definisi: Memindahkan objek tanpa mengubah bentuk atau ukuran.

Rumus Translasi

Jika titik $P(x,y)$ digeser sejauh $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$, maka:

$$P^{\mathrm{\prime }}(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})=(x+a,y+b)$$

Contoh:
Titik $B(4,1)$ ditranslasi oleh $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right)$ → $B^{\mathrm{\prime }}(4+3,1-2)=(7,-1)$.

---

4. Rotasi (Perputaran)

Definisi: Memutar objek terhadap titik pusat dengan sudut tertentu.

Rumus Rotasi

• Pusat $O(0,0)$:

  $$\{\begin{array}{l}{x}^{\mathrm{\prime }}=x\cos \theta -y\sin \theta \\ y^{\mathrm{\prime }}=x\sin \theta +y\cos \theta \end{array}$$

• Pusat $(a,b)$:

  $$\{\begin{array}{l}{x}^{\mathrm{\prime }}=a+(x-a)\cos \theta -(y-b)\sin \theta \\ y^{\mathrm{\prime }}=b+(x-a)\sin \theta +(y-b)\cos \theta \end{array}$$

Contoh:
Titik $C(1,2)$ dirotasi ${90}^{\circ }$ berlawanan jarum jam terhadap $O(0,0)$ →

$$C^{\mathrm{\prime }}=(1\cos {90}^{\circ }-2\sin {90}^{\circ },1\sin {90}^{\circ }+2\cos {90}^{\circ })=(0-2,1+0)=(-2,1)\mathrm{.}$$

---

5. Dilatasi (Penskalaan)

Definisi: Mengubah ukuran objek dengan faktor skala $k$ terhadap suatu titik pusat.

Rumus Dilatasi

• Pusat $O(0,0)$:

  $$P^{\mathrm{\prime }}(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})=(k\cdot x,k\cdot y)$$

• Pusat $(a,b)$:

  $$P^{\mathrm{\prime }}(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})=(a+k(x-a),b+k(y-b))$$

Contoh:
Titik $D(3,5)$ didilatasi dengan skala $2$ terhadap $O(0,0)$ → $D^{\mathrm{\prime }}(6,10)$.

---

6. Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1

Titik $E(4,-1)$ dicerminkan terhadap garis $y=x$, lalu ditranslasi $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\right)$. Tentukan koordinat akhir!

Penyelesaian:

1. Refleksi $E(4,-1)$ terhadap $y=x$ → $E^{\mathrm{\prime }}(-1,4)$.

2. Translasi $E^{\mathrm{\prime }}$ dengan $\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\right)$ → $E^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-1-2,4+3)=(-3,7)$.

Soal 2

Segitiga $ABC$ dengan $A(1,1)$, $B(3,1)$, $C(2,3)$ dirotasi ${180}^{\circ }$ terhadap $(0,0)$. Tentukan koordinat baru!

Penyelesaian:
Gunakan rumus rotasi ${180}^{\circ }$ ($\cos {180}^{\circ }=-1$, $\sin {180}^{\circ }=0$):

• $A^{\mathrm{\prime }}=(-1,-1)$

• $B^{\mathrm{\prime }}=(-3,-1)$

• $C^{\mathrm{\prime }}=(-2,-3)$

---

7. Aplikasi Transformasi

• Komputer Grafis: Game, animasi, desain.

• Fisika: Gerak benda, optik (pencerminan cahaya).

• Arsitektur: Desain bangunan simetris.

---

8. Latihan Soal

1. Titik $F(5,-2)$ didilatasi dengan skala $3$ terhadap $(1,1)$. Tentukan $F^{\mathrm{\prime }}$!

2. Garis $y=2x+1$ dicerminkan terhadap sumbu $Y$. Tentukan persamaan bayangannya!

Jawaban:

1. $F^{\mathrm{\prime }}=(1+3(5-1),1+3(-2-1))=(13,-8)$.

2. Refleksi $y=2x+1$ terhadap sumbu $Y$ → $y=-2x+1$.

BuSet Mei 03, 2025 Tags : Matematika , OSN , SMP

Subscribe by Email

Follow Updates Articles from This Blog via Email