Materi Pembelajaran: Teorema Pythagoras

Materi Pembelajaran: Teorema Pythagoras

1. Pengenalan Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras adalah salah satu teorema paling terkenal dalam matematika, khususnya geometri. Teorema ini menghubungkan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku.

Definisi:
"Dalam segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang dua sisi lainnya."

Rumus:
Jika segitiga siku-siku memiliki sisi-sisi $a$ dan $b$ sebagai sisi siku-siku, dan $c$ sebagai hipotenusa, maka:

c^{2} = a^{2} + b^{2}

2. Sejarah Singkat

Ditemukan oleh matematikawan Yunani kuno bernama Pythagoras (sekitar 500 SM).
Namun, teorema ini sudah dikenal oleh peradaban Babilonia dan Mesir Kuno jauh sebelumnya.

3. Bukti Sederhana Teorema Pythagoras

Ada banyak cara membuktikan teorema ini. Salah satunya dengan metode luas:

Gambar sebuah segitiga siku-siku dengan sisi $a$ , $b$ , dan $c$ .
Buat persegi dengan panjang sisi $(a + b)$ .
Susun 4 segitiga siku-siku identik di dalam persegi tersebut.
Hitung luas daerah yang tidak tertutup segitiga (akan terbentuk 1 persegi kecil dengan luas $c^{2}$ ).
Dengan aljabar, dapat dibuktikan bahwa $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

4. Penerapan Teorema Pythagoras

Teorema ini berguna dalam:

Menghitung panjang sisi segitiga siku-siku.
Menentukan jarak antara dua titik pada bidang koordinat ( $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$ ).
Aplikasi dunia nyata: arsitektur, navigasi, fisika, dan teknologi.

5. Contoh Soal & Penyelesaian

Contoh 1:
Diketahui segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku 6 cm dan 8 cm. Hitung panjang hipotenusanya!

Penyelesaian:

c^{2} = a^{2} + b^{2}

c^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100

c = \sqrt{100} = 10 cm

Contoh 2:
Sebuah tangga bersandar di tembok. Jika jarak kaki tangga ke tembok 1,5 m dan tinggi tembok yang dicapai 2 m, berapa panjang tangga?

Penyelesaian:
Panjang tangga adalah hipotenusa:

c^{2} = (1.5)^{2} + 2^{2} = 2.25 + 4 = 6.25

c = \sqrt{6.25} = 2.5 m

6. Triples Pythagoras

Kelompok tiga bilangan bulat positif yang memenuhi $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . Contoh:

$(3, 4, 5)$ → $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$
$(5, 12, 13)$
$(7, 24, 25)$

7. Kesalahan Umum & Tips

Pastikan segitiga benar-benar siku-siku sebelum menggunakan teorema ini.
Hipotenusa selalu sisi terpanjang.
Perhatikan satuan panjang saat menghitung.

8. Latihan Soal (Optional)

Jika hipotenusa segitiga siku-siku 13 cm dan salah satu sisi siku-sikunya 5 cm, berapa panjang sisi siku-siku lainnya?
Dua sisi sebuah segitiga adalah 9 cm dan 12 cm. Apakah segitiga tersebut siku-siku? Jelaskan!

Jawaban:

$b = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 cm$
Ya, karena $9^{2} + 12^{2} = 81 + 144 = 225 = 15^{2}$ .

BuSet Mei 03, 2025 Tags : Matematika , OSN , SMP