Materi Aljabar ; Himpunan, Relasi dan Fungsi

Materi Aljabar 

1. Himpunan: Pengertian, Notasi, dan Operasi

A. Pengertian Himpunan

• Definisi: Kumpulan objek (anggota) yang terdefinisi dengan jelas.

• Contoh:

  • Himpunan bilangan prima kurang dari 10: $P=\{2,3,5,7\}$.

  • Himpunan huruf vokal: $V=\{a,e,i,o,u\}$.

B. Notasi Himpunan

1. Notasi Pendaftaran: $A=\{1,2,3\}$.

2. Notasi Pembentuk Himpunan: $B=\{x\mid x\text{ adalah bilangan genap}\}$.

3. Simbol Standar:

   • $\in$ (anggota), $\mathrm{\notin }$ (bukan anggota).

   • $\mathrm{\varnothing }$ (himpunan kosong).

C. Operasi Himpunan

Operasi	Simbol	Contoh
Irisan	$A\cap B$	$\{1,2\}\cap \{2,3\}=\{2\}$
Gabungan	$A\cup B$	$\{1,2\}\cup \{2,3\}=\{1,2,3\}$
Selisih	$A\setminus B$	$\{1,2\}\setminus \{2\}=\{1\}$
Komplemen	$A^c$	Jika semesta $S=\{1,2,3\}$, maka $\{1{\}}^c=\{2,3\}$

D. Diagram Venn

• Visualisasi operasi himpunan dengan lingkaran yang tumpang tindih.

---

2. Relasi dan Fungsi

A. Pengertian Relasi & Fungsi

1. Relasi: Hubungan antara dua himpunan (contoh: $x$ berelasi dengan $y$ jika $y=x+1$).

2. Fungsi: Relasi khusus di mana setiap anggota domain memiliki tepat satu pasangan di kodomain.

   • Notasi: $f:A\to B$.

   • Contoh: $f(x)=2x$.

B. Grafik Fungsi

• Fungsi Linear: Garis lurus (contoh: $y=2x+1$).

• Fungsi Kuadrat: Parabola (contoh: $y=x^2$).

• Fungsi Akar: Kurva setengah parabola (contoh: $y=\sqrt{x}$).

C. Jenis-Jenis Fungsi

1. Fungsi Suku Banyak (Polinomial):

   • Bentuk: $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0$.

   • Contoh: $f(x)=3x^3-2x+1$.

   • Sifat:

     • Derajat menentukan bentuk grafik.

     • Memiliki paling banyak $n$ akar.

2. Fungsi Rasional:

   • Bentuk: $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ (di mana $Q(x)\mathrm{\ne }0$).

   • Contoh: $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$.

   • Sifat:

     • Asimtot vertikal di $x$ yang membuat penyebut nol.

     • Asimtot horizontal jika derajat $P(x)\le Q(x)$.

3. Fungsi Akar:

   • Bentuk: $f(x)=\sqrt[n]{P(x)}$.

   • Contoh: $f(x)=\sqrt{x^2+1}$.

   • Sifat:

     • Domain terbatas (jika $n$ genap, $P(x)\ge 0$).

D. Operasi Fungsi

1. Penjumlahan/Pengurangan:

   • $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$.

   • Contoh: $f(x)=x+1$, $g(x)=2x$ → $(f+g)(x)=3x+1$.

2. Perkalian/Pembagian:

   • $(f\cdot g)(x)=f(x)\times g(x)$.

   • Contoh: $f(x)=x$, $g(x)=x^2$ → $(f\cdot g)(x)=x^3$.

3. Komposisi Fungsi:

• $(f\circ g)(x)=f(g(x))$.

• Contoh: $f(x)=2x$, $g(x)=x+1$ → $(f\circ g)(x)=2(x+1)$.

LATIHAN

Explore more at Quizizz.

BuSet Mei 01, 2025 Tags : Matematika , OSN , SMP

Subscribe by Email

Follow Updates Articles from This Blog via Email