Soal OSN Matematika 1 - Bilangan

A. Operasi Bilangan Bulat, Rasional, Akar, dan Bilangan Berpangkat

1.
Misalkan $n$ adalah bilangan bulat terbesar yang didapat dengan cara menyelesaikan pertidaksamaan berikut:

\frac{3 + 9 + 18 + 30 + \dots + n}{n} < 2021.

2.
Diketahui suatu persamaan $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 2021$ dengan $a b > 1$ . Berapakah nilai terkecil $a b$ sehingga $a + b$ merupakan bilangan bulat positif?

3.
Misal $k$ bilangan bulat positif. Nilai $k$ yang memenuhi $\frac{3 k^{2} - 3 k}{2 k^{2} - 10 k + 8}$ sebagai bilangan bulat positif adalah …

4.
Jika

M = \frac{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{2023}}{1 \times 2023 + \frac{1}{3} \times 2021 + \frac{1}{5} \times 2019 + \dots + \frac{1}{2023 \times 1}},

maka hasil penjumlahan semua faktor prima dari $M$ adalah ….

5.
Misalkan $a, b, c, d$ adalah bilangan‑bilangan bulat positif yang berbeda sehingga $a + b$ , $a + c$ , dan $a + d$ merupakan bilangan ganjil sekaligus bilangan kuadrat. Nilai $a + b + c + d$ terkecil yang mungkin adalah ….

6.
Diketahui $a, b, c, d, e$ merupakan bilangan bulat positif dengan $a \leq b \leq c \leq d \leq e$ dan

a + b + c + d + e = a \times b \times c \times d \times e .

Nilai terbesar yang mungkin untuk $e$ adalah ….

7.
Jika $(x, y)$ adalah pasangan bilangan bulat positif yang memenuhi

x^{2} + 2023 x + 2023 = y^{2}

dengan $x > y$ . Banyaknya $(x, y)$ yang mungkin adalah ….

8.
Diketahui

x^{2} + \sqrt{x y} + y^{2} = 168, x - \sqrt{x y} + y = 10.

Jumlah semua nilai $x + \sqrt{x y} + y$ yang mungkin adalah ….

9.
Jika $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ dengan $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ dan $0! = 1$ , maka nilai deret berikut adalah

\frac{1}{1} (\binom{20}{0}) + \frac{1}{2} (\binom{20}{1}) + \frac{1}{3} (\binom{20}{2}) + \frac{1}{4} (\binom{20}{3}) + \dots + \frac{1}{21} (\binom{20}{20}) .

10.
Diketahui $x$ merupakan bilangan bulat positif kelipatan 2 yang kurang dari 50, $y$ merupakan bilangan bulat positif kelipatan 3, dan $y - x = 10$ .
Jika $A$ adalah himpunan semua faktor prima dari $x$ , $B$ adalah himpunan semua faktor prima dari $y$ , dan jumlah semua anggota dari $A \cup B$ adalah 10, maka nilai dari $x + y$ adalah ….

11.
Diketahui $p$ dan $q$ adalah bilangan bulat positif dengan
$p - 1 = (k^{2} - 4 k - 3)^{2}$ dan $q - 1 = (k^{2} - 4 k - 5)^{2}$ .
Jika $p q$ adalah bilangan prima, maka nilai terbesar yang mungkin bagi $p^{2} + q^{2}$ adalah ….

12.
Diketahui barisan geometri: $80, x, y, z, 3125$ . Nilai terkecil yang mungkin dari $x - y + z$ adalah ….

13.
Bilangan segi lima ke- $n$ adalah banyaknya titik yang membentuk $n$ segi lima. Bilangan segi lima ke-0 adalah 1, ke-1 adalah 5, ke-2 adalah 12, ke-3 adalah 22. Bilangan segi lima yang paling dekat dengan 2025 adalah bilangan segi lima ke-….

14.
Jika

f (x) = 2025 + \frac{x + 1}{x} + \frac{x^{2} + 2}{x^{2}} + \frac{x^{3} + 3}{x^{3}} + \dots + \frac{x^{10} + 10}{x^{10}},

nilai dari $f (2) + f (1) - f (- 1) - f (- 2)$ adalah ….

15.
Jika $x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = 18$ dan $x \neq 0$ , maka nilai dari $(x^{7} + \frac{1}{x^{7}}) + 7$ adalah ….

16.
Diketahui $a = \frac{(- 1)^{4} \times 4 + (- 1)^{3} \times 3 + (- 1)^{2} \times 2 + (- 1)^{1} \times 1}{2^{3}}$ .
Nilai dari $\frac{a + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a}}$ adalah ….

17.
Barisan bilangan: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, … (semua bilangan bulat positif yang bukan kelipatan 5). Suku ke-2025 barisan tersebut adalah ….

18.
Bilangan Super Ganjil didefinisikan sebagai bilangan bulat positif yang semua digitnya ganjil. Hasil penjumlahan semua bilangan Super Ganjil yang kurang dari 1000 adalah ….

19.
Suatu data terdiri dari 35 bilangan bulat positif dengan median 22 dan bilangan terbesar 29. Misalkan rata‑rata terkecil yang mungkin adalah $x$ dan rata‑rata terbesar adalah $y$ . Nilai $x + y = \dots$

20.
Jumlah semua bilangan ratusan yang ketiga digitnya berbeda dan tidak memuat 0 adalah ….

B. FPB, KPK, Faktor, Kelipatan, Faktor Prima

1.
Pada suatu kotak terdapat beberapa bola bernomor. Di antara nomor bola tersebut terdapat faktor prima dari 2021, serta akar bilangan asli dari persamaan polinomial $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20 = 0$ . Bila diambil satu bola secara acak, maka peluang terambil bola bernomor genap adalah ….

2.
Sebuah bilangan prima disebut “prima kanan” jika dapat diperoleh bilangan prima dengan menghilangkan setidaknya satu angka dari sebelah kiri. Contoh: 223 (hilangkan 2 paling kiri → 23 prima), 127 (hilangkan 12 → 7 prima). Banyaknya bilangan prima antara 10 dan 200 yang merupakan “prima kanan” adalah ….

3.
Banyaknya faktor dari 2024 yang lebih besar dari $\sqrt{2024}$ adalah ….

4.
Dua bilangan bulat positif memiliki jumlah 40 dan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) 48. Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari kedua bilangan tersebut adalah ….

5.
Enam bilangan prima yang kurang dari 160 membentuk barisan aritmetika dengan beda lebih dari 1. Jumlah keenam bilangan tersebut adalah ….

6.
Misalkan $N (a, b, c)$ menyatakan banyaknya kelipatan $a$ yang lebih besar dari $b$ dan kurang dari $c$ . Nilai dari $N (6^{3}, 6^{4}, 6^{6})$ adalah ….

7.
Bilangan bulat positif $n$ disebut bilangan JUMPAT jika jumlah $n$ bilangan bulat positif pertama dapat dinyatakan sebagai penjumlahan empat bilangan bulat positif berurutan. Banyaknya bilangan JUMPAT yang kurang dari 2024 adalah ….

8.
Gina bermain angka dengan mengisikan bilangan bulat 1, 2, …, 9 pada tabel $3 \times 3$ . Hasil kali ketiga bilangan pada setiap baris adalah bilangan yang terdapat di kanan tabel, dan hasil kali ketiga bilangan pada setiap kolom adalah bilangan yang terdapat di bawah tabel (lihat gambar). Nilai $N$ adalah ….

9.
Bilangan-bilangan 4, 5, 6, 9, 11, 12, 18, 20, dan 24 akan diletakkan pada 4 lingkaran dan 5 persegi yang disusun dalam satu baris. Setiap bilangan digunakan tepat satu kali. Bilangan pada setiap lingkaran harus merupakan hasil penjumlahan dari dua bilangan pada persegi yang berada tepat di sebelah kiri dan kanannya. Jika $x$ adalah bilangan pada persegi paling kiri dan $y$ pada persegi paling kanan, nilai terbesar yang mungkin dari $x + y$ adalah ….

10.
Diketahui $a, b, c$ adalah bilangan ratusan yang satuannya sama dengan ratusannya. Jika $b = 2 a + 1$ dan $c = 2 b + 1$ , maka banyaknya kemungkinan tripel $(a, b, c)$ yang berbeda adalah ….

11.
Dari segi lima ABCDE dipilih 21 titik yang berbeda: satu titik dari sisi AB, dua dari BC, tiga dari CD, empat dari DE, lima titik sudut A,B,C,D,E, dan enam dari sisi AE. Banyaknya segitiga yang dapat dibentuk dari seluruh titik yang dipilih adalah ….

12.
Suatu perusahaan baterai melakukan kontrol kualitas terhadap 2000 baterai. Ada tiga jenis kerusakan: pelat penutup (30), elektrolit (50), terminal (40), terminal dan pelat penutup (10), pelat penutup dan elektrolit (19), terminal dan elektrolit (15), serta ketiganya (5). Banyaknya baterai yang memenuhi standar (tanpa kerusakan) adalah ….

C. Basis Bilangan

1.
Dalam suatu permainan Tebak Angka, setiap angka yang muncul di layar harus diubah ke dalam basis 8. Aturan: jika

n = a_{k} 8^{k} + a_{k - 1} 8^{k - 1} + \dots + a_{1} 8 + a_{0},

maka $n$ ditulis sebagai $(a_{k} a_{k - 1} \dots a_{1} a_{0})_{8}$ . Angka yang muncul di layar adalah 2021 dan 2050. Berapakah jumlah digit terbesar dari basis kedua angka yang muncul?

D. Sisa Pembagian (Modulo, Keterbagian)

1.
Banyak bilangan bulat tujuh digit yang disusun dari angka 0 atau 1 saja serta habis dibagi 6 adalah ….

2.
Diketahui $A = {0, 1, 2, \dots, 9}$ dan $r s t u$ adalah bilangan empat digit dengan $r, s, t, u$ anggota $A$ yang berbeda. Jika $r s t u + s t u = w x y z$ , dengan $r, s, t, u, v, w, x, y, z$ anggota $A$ yang berbeda, maka anggota $A$ yang tidak digunakan dalam operasi penjumlahan tersebut adalah ….

3.
Sejumlah kertas berbentuk persegi panjang ditumpuk kemudian dilipat dua sekaligus untuk membentuk buku. Buku yang terbentuk diberi nomor halaman berurutan mulai dari 1, 2, 3, … Jika salah satu lembar kertas dari buku tersebut diambil, jumlah keempat nomor halamannya adalah 122. Banyak kertas yang digunakan untuk menyusun buku tersebut adalah ….

4.
Pasangan terurut bilangan bulat $(x, y)$ dengan $- 5 \leq x \leq 5$ dan $- 5 \leq y \leq 5$ yang memenuhi $10 \leq x^{2} + y^{2} \leq 30$ ada sebanyak ….

5.
Tiga bersaudara Ana, Bona, dan Cinta mendapatkan uang saku dalam pecahan Rp5.000, Rp10.000, Rp20.000.

Ana: $x$ lembar 5k, $y$ lembar 10k, $z$ lembar 20k.
Bona: $y$ lembar 5k, $z$ lembar 10k, $x$ lembar 20k.
Cinta: $z$ lembar 5k, $x$ lembar 10k, $y$ lembar 20k.
Total uang saku ketiganya Rp700.000. Pernyataan benar yang dapat disimpulkan adalah ….

GABUNG SALURAN OSN AGAR TIDAK KETINGGALAN

BuSet April 19, 2026 Tags : Matematika , OSN , SMP

Soal OSN Matematika 1 - Bilangan

A. Operasi Bilangan Bulat, Rasional, Akar, dan Bilangan Berpangkat

B. FPB, KPK, Faktor, Kelipatan, Faktor Prima

C. Basis Bilangan

D. Sisa Pembagian (Modulo, Keterbagian)

Subscribe by Email

No Comments