Materi Bilangan - OSN Matematika SMP

Materi Bilangan – Olimpiade Sains Nasional SMP

Kompetensi

Menerapkan sifat dan operasi bilangan bulat, rasional, akar, serta bilangan berpangkat dalam menyelesaikan masalah.

Sub-materi

1. Operasi bilangan bulat, rasional, akar, dan bilangan berpangkat beserta sifat‑sifatnya

2. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

3. Basis bilangan

4. Sisa pembagian

---

1. Operasi Bilangan Bulat, Rasional, Akar, dan Bilangan Berpangkat

A. Bilangan Bulat

• Himpunan: { …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … }

• Sifat operasi: tertutup, komutatif, asosiatif, distributif, identitas, invers.

• Keterbagian: $a\mid b$ jika ada $k$ bulat sehingga $b=a\cdot k$.

• Bilangan prima, komposit, faktorisasi prima.

B. Bilangan Rasional

• Bentuk $\frac{a}{b}$ dengan $a,b$ bulat, $b\mathrm{\ne }0$.

• Operasi: penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian.

• Sifat: desimal berulang atau berakhir.

C. Bentuk Akar (irasional)

• Definisi: $\sqrt{a}$ adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya = $a$.

• Sifat:

  • $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$ (untuk $a,b\ge 0$)

  • $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

  • $\sqrt{a^2}=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$

• Menyederhanakan akar: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$

• Merasionalkan penyebut: $\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}$, $\frac{1}{a+\sqrt{b}}=\frac{a-\sqrt{b}}{a^2-b}$

D. Bilangan Berpangkat

• $a^n=a\times a\times \cdots \times a$ ($n$ faktor)

• Sifat:

  • $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

  • $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ ($a\mathrm{\ne }0$)

  • $(a^m{)}^n=a^{mn}$

  • $(ab{)}^n=a^n{b}^n$

  • ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$

  • $a^0=1$ ($a\mathrm{\ne }0$)

  • $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

• Pangkat pecahan: $a^{m\mathrm{/}n}=\sqrt[n]{a^m}$

Contoh Soal OSN

Soal 1: Tentukan nilai dari $\frac{(-1{)}^4\times 4+(-1{)}^3\times 3+(-1{)}^2\times 2+(-1{)}^1\times 1}{2^3}$
Pembahasan:
$(-1{)}^4=1,(-1{)}^3=-1,(-1{)}^2=1,(-1{)}^1=-1$
Numerator = $1\cdot 4+(-1)\cdot 3+1\cdot 2+(-1)\cdot 1=4-3+2-1=2$
Denominator = $8$ → hasil = $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$

Soal 2: Jika $x^3+\frac{1}{x^3}=18$ dan $x\mathrm{\ne }0$, hitung $x^7+\frac{1}{x^7}+7$.
Pembahasan (ringkas):
Misal $t=x+\frac{1}{x}$. Maka $x^3+\frac{1}{x^3}=t^3-3t=18$ → $t^3-3t-18=0$ → $(t-3)(t^2+3t+6)=0$ → $t=3$.
$x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2=7$, $x^4+\frac{1}{x^4}=(x^2+\frac{1}{x^2}{)}^2-2=49-2=47$.
$x^7+\frac{1}{x^7}=(x^4+\frac{1}{x^4})(x^3+\frac{1}{x^3})-(x+\frac{1}{x})=47\cdot 18-3=846-3=843$.
Maka $x^7+\frac{1}{x^7}+7=850$.

---

2. FPB dan KPK

A. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

• Definisi: Bilangan terbesar yang membagi dua bilangan atau lebih.

• Cara mencari:

  • Faktorisasi prima: ambil faktor prima yang sama dengan pangkat terkecil.

  • Algoritma Euclid: $\gcd (a,b)=\gcd (b,a<mrow\; style="border-color:\; currentcolor;"><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">m</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">o</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">d</mi></mrow>b)$.

B. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

• Definisi: Bilangan positif terkecil yang habis dibagi oleh dua bilangan atau lebih.

• Cara mencari:

  • Faktorisasi prima: ambil semua faktor prima dengan pangkat terbesar.

  • Hubungan: $\text{KPK}(a,b)\times \text{FPB}(a,b)=a\times b$ (untuk dua bilangan).

Contoh Soal OSN

Soal 1: Dua bilangan bulat positif memiliki jumlah 40 dan KPK 48. Tentukan FPB-nya.
Pembahasan:
Misal bilangan = $a,b$ dengan $a+b=40$, $\text{KPK}=48$. Gunakan $a\times b=\text{FPB}\times \text{KPK}$. Misal $\text{FPB}=d$, maka $a=dm,b=dn$ dengan $\gcd (m,n)=1$.
$d(m+n)=40$, $\text{KPK}=d\cdot m\cdot n=48$ → $dmn=48$.
Substitusi $m+n=40\mathrm{/}d$ dan $mn=48\mathrm{/}d$.
$m,n$ akar dari $X^2-(40\mathrm{/}d)X+48\mathrm{/}d=0$ harus bulat positif dan relatif prima.
Coba $d=8$ → $m+n=5,mn=6$ → $m=2,n=3$ atau sebaliknya, $\gcd (2,3)=1$ memenuhi. Maka FPB = 8.

Soal 2: Tentukan banyaknya faktor dari 2024 yang lebih besar dari $\sqrt{2024}$.
Pembahasan:
Faktorisasi prima: $2024=8\times 253=2^3\times 11\times 23$.
Banyak faktor = $(3+1)(1+1)(1+1)=16$. Faktor berpasangan: $f\times (2024\mathrm{/}f)=2024$. Untuk setiap pasangan, satu faktor ≤ √2024 dan satu ≥ √2024. Karena 2024 bukan kuadrat sempurna, tepat setengah faktor > √2024. Jadi ada 8 faktor.

---

3. Basis Bilangan

A. Konsep

• Sistem bilangan basis $b$ ($b\ge 2$) menggunakan digit 0 sampai $b-1$.

• Representasi: $(a_k{a}_{k-1}\dots a_1{a}_0{)}_b=a_k{b}^k+a_{k-1}{b}^{k-1}+\cdots +a_{1}b+a_0$.

• Basis umum: desimal (10), biner (2), oktal (8), heksadesimal (16).

B. Konversi

• Dari basis $b$ ke desimal: kalikan setiap digit dengan $b^{\text{posisi}}$.

• Dari desimal ke basis $b$: bagi berulang dengan $b$, sisa dibaca dari bawah ke atas.

C. Operasi dalam basis tertentu

• Penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian tetap berlaku, namun perhatikan “carry” saat mencapai basis.

Contoh Soal OSN

Soal: Angka 2021 dan 2050 diubah ke basis 8. Jumlah digit terbesar dari kedua representasi basis 8 tersebut adalah …
Pembahasan:
Ubah 2021 ke basis 8:
2021 ÷ 8 = 252 sisa 5
252 ÷ 8 = 31 sisa 4
31 ÷ 8 = 3 sisa 7
3 ÷ 8 = 0 sisa 3 → $(3745{)}_8$. Digit terbesar = 7.
Ubah 2050 ke basis 8:
2050 ÷ 8 = 256 sisa 2
256 ÷ 8 = 32 sisa 0
32 ÷ 8 = 4 sisa 0
4 ÷ 8 = 0 sisa 4 → $(4002{)}_8$. Digit terbesar = 4.
Jumlah = 7 + 4 = 11. (Catatan: soal asli kunci 19? Periksa: mungkin maksudnya jumlah digit terbesar dari kedua angka? Atau jumlah digit terbesar masing-masing? Jika 2021 dan 2050, digit terbesar 7 dan 4 jumlah 11. Namun kunci 19 menunjukkan kemungkinan lain: misal basis 8 dari 2021 adalah 3745 (digit terbesar 7), 2050 adalah 4002 (digit terbesar 4), jumlah 11. Atau mungkin yang dimaksud adalah jumlah semua digit? 3+7+4+5+4+0+0+2=25. Tidak cocok. Pastikan: kunci jawaban 19 bisa dari 2021 basis 8 = 3745 (jumlah digit 3+7+4+5=19) dan 2050 basis 8 = 4002 (jumlah digit 4+0+0+2=6), lalu dijumlah? Atau hanya salah satu? Biasanya soal OSN seperti itu: jumlah digit dari bilangan basis 8? Mari kita cermati: “Berapakah jumlah digit terbesar dari basis kedua angka yang muncul?” Artinya: untuk masing-masing angka, cari digit terbesar dalam basis 8, lalu jumlahkan. Hasil 7+4=11. Tapi kunci 19 mungkin untuk soal berbeda. Karena ini materi, kita abaikan kontradiksi. Tuliskan konsep.)

---

4. Sisa Pembagian (Modulo)

A. Definisi

• $a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$ jika $m\mid (a-b)$.

• Sisa pembagian $a$ oleh $m$ adalah bilangan $r$ dengan $0\le r<m$ sehingga $a=mq+r$.

B. Sifat-sifat modulo

• $(a+b)<mrow\; style="border-color:\; currentcolor;"><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">m</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">o</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">d</mi></mrow>m=(a<mrow\; style="border-color:\; currentcolor;"><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">m</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">o</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">d</mi></mrow>m+b<mrow\; style="border-color:\; currentcolor;"><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">m</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">o</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">d</mi></mrow>m)<mrow\; style="border-color:\; currentcolor;"><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">m</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">o</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">d</mi></mrow>m$

• $(a\cdot b)<mrow\; style="border-color:\; currentcolor;"><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">m</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">o</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">d</mi></mrow>m=(a<mrow\; style="border-color:\; currentcolor;"><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">m</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">o</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">d</mi></mrow>m\cdot b<mrow\; style="border-color:\; currentcolor;"><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">m</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">o</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">d</mi></mrow>m)<mrow\; style="border-color:\; currentcolor;"><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">m</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">o</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">d</mi></mrow>m$

• $a^k<mrow\; style="border-color:\; currentcolor;"><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">m</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">o</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">d</mi></mrow>m$ dapat dihitung dengan eksponensiasi modular.

• Keterbagian: suatu bilangan habis dibagi 2,3,4,5,6,8,9,11,25,125, dll. berdasarkan digit terakhir, jumlah digit, selisih jumlah digit bergantian, dll.

C. Teorema Sisa Cina (Chinese Remainder Theorem) – tingkat lanjut

Untuk sistem kongruensi dengan modulus koprima, solusi tunggal modulo hasil kali.

Contoh Soal OSN

Soal 1: Banyak bilangan bulat tujuh digit yang disusun dari angka 0 atau 1 saja serta habis dibagi 6 adalah …
Pembahasan:
Habis dibagi 6 → habis dibagi 2 dan 3.
Dari angka 0/1, syarat habis dibagi 2: digit terakhir harus 0.
Syarat habis dibagi 3: jumlah digit kelipatan 3.
Bilangan tujuh digit: digit pertama tidak boleh 0, jadi digit pertama = 1. Digit terakhir = 0.
Sisa 5 digit tengah (posisi 2–6) boleh 0 atau 1. Jumlah digit = 1 (digit pertama) + (jumlah digit tengah) + 0 = 1 + S.
Syarat 1+S kelipatan 3 → S ≡ 2 (mod 3). S adalah banyak angka 1 di 5 posisi tengah, nilai S bisa 0,1,2,3,4,5. Yang memenuhi S=2 atau S=5.
Banyak cara: untuk S=2, pilih 2 dari 5 posisi = C(5,2)=10. Untuk S=5, pilih semua 5 posisi =1. Total = 11. Jadi ada 11 bilangan.

Soal 2: Tentukan sisa pembagian $2^{2025}$ oleh 7.
Pembahasan:
Perhatikan pola $2^n<mrow\; style="border-color:\; currentcolor;"><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">m</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">o</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">d</mi></mrow>7$: $2^1=2,2^2=4,2^3=1,2^4=2,\dots$ periodik 3.
2025 mod 3 = 0 (karena 2025 habis dibagi 3). Maka $2^{2025}\equiv 2^3\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$. Jadi sisa = 1.

---

Rangkuman Rumus dan Trik

Topik	Rumus/Trik
Akar	$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$, rasionalisasi
Pangkat	$a^{-n}=1\mathrm{/}{a}^n$, $a^{m\mathrm{/}n}=\sqrt[n]{a^m}$
FPB & KPK	$a\times b=\text{FPB}\times \text{KPK}$, algoritma Euclid
Basis	Konversi bagi–sisa, operasi digit
Modulo	$(a+b)<mrow\; style="border-color:\; currentcolor;"><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">m</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">o</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">d</mi></mrow>m$, $(ab)<mrow\; style="border-color:\; currentcolor;"><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">m</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">o</mi><mi\; mathvariant="normal"\; style="border-color:\; currentcolor;">d</mi></mrow>m$, periodik

---

Latihan Soal Mandiri

1. Hitung nilai dari $\sqrt{2025}+\sqrt[3]{2025}\times {2025}^{\frac{1}{6}}$.

2. Tentukan FPB dan KPK dari 2024 dan 2025.

3. Nyatakan bilangan 2024 dalam basis 2 dan basis 5.

4. Berapa sisa jika ${2024}^{2025}$ dibagi 13?

5. Dua bilangan bulat positif memiliki KPK 2024 dan FPB 11. Jika selisihnya 33, tentukan kedua bilangan tersebut.

GABUNG SALURAN OSN AGAR TIDAK KETINGGALAN

1. Materi Bilangan - Soal OSN Bilangan 
2. Materi Aljabar - Soal OSN Aljabar
3. Materi Geometri - Soal OSN Geometri
4. Materi Analisis Data dan Peluang - Soal OSN Analisis Data dan Peluang
5. Materi Kapita Selekta - Soal OSN Kapita Selekta

BuSet April 19, 2026 Tags : Matematika , OSN , SMP

Subscribe by Email

Follow Updates Articles from This Blog via Email