Materi Geometri - OSN Matematika SMP

 

Materi Geometri – Olimpiade Sains Nasional SMP

Kompetensi

Menerapkan konsep garis, sudut, teorema Pythagoras, sistem koordinat Kartesius, dan transformasi pada bidang dan ruang dalam menyelesaikan masalah.

Sub-materi

1. Garis dan sudut (kedudukan dua garis, jarak titik ke garis, sifat sudut)

2. Bangun datar (sifat, keliling, luas, kesebangunan, kekongruenan)

3. Teorema Pythagoras

4. Transformasi (refleksi, translasi, rotasi, dilatasi)

5. Sistem koordinat Kartesius

6. Luas permukaan dan volume bangun ruang

---

1. Garis dan Sudut

A. Kedudukan Dua Garis

• Sejajar: tidak pernah bertemu, gradien sama.

• Berpotongan: memiliki satu titik potong.

• Tegak lurus: hasil kali gradien = –1.

• Bersilangan (dalam ruang): tidak sejajar dan tidak berpotongan.

B. Jarak Dua Titik dan Jarak Titik ke Garis

• Jarak dua titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$:

  $$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

• Jarak titik $(x_0,y_0)$ ke garis $Ax+By+C=0$:

  $$d=\frac{\mathrm{\mid }A{x}_0+B{y}_0+C\mathrm{\mid }}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

C. Sifat-sifat Sudut

• Sudut berpelurus: jumlah ${180}^{\circ }$.

• Sudut bertolak belakang: sama besar.

• Sudut sehadap, dalam berseberangan, luar berseberangan pada garis sejajar dipotong transversal: sama besar.

• Jumlah sudut dalam segitiga = ${180}^{\circ }$.

• Sudut luar segitiga = jumlah dua sudut dalam yang tidak berdekatan.

Contoh Soal OSN

Soal: Pada jajar genjang ABCD, AB = 3x+1, BC = 5x–20, keliling 106 cm. Titik E pada AB dengan DE ⟂ AB. DE = 3x–7. Jika HC = 2×EF, FK = 5 cm, dan FK ∥ DE, hitung luas daerah merah (gambar tidak disertakan, namun konsep jarak titik ke garis dan sifat sudut digunakan).
Pembahasan ringkas:
Keliling = 2(AB+BC) = 2[(3x+1)+(5x–20)] = 2(8x–19) = 106 → 8x–19 = 53 → 8x = 72 → x=9.
Maka AB = 28, BC = 25, DE = 20. Karena DE ⟂ AB, DE adalah tinggi jajar genjang. Luas jajar genjang = AB × DE = 28×20 = 560. Dari informasi lain dapat dicari luas yang diarsir (biasanya bagian tertentu). Soal ini membutuhkan gambar, tetapi prinsipnya menggunakan sifat garis sejajar dan tegak lurus.

---

2. Bangun Datar

A. Sifat-sifat Bangun Datar

• Segitiga: berdasarkan sisi (sama sisi, sama kaki, sembarang) dan sudut (lancip, siku-siku, tumpul). Garis istimewa: tinggi, median, garis bagi, sumbu.

• Segiempat: persegi, persegi panjang, jajar genjang, belah ketupat, layang-layang, trapesium. Sifat simetri, diagonal, sudut.

• Lingkaran: jari-jari, diameter, tali busur, apotema, sudut pusat, sudut keliling.

B. Keliling dan Luas

Bangun	Keliling	Luas
Persegi	$4s$	$s^2$
Persegi panjang	$2(p+l)$	$p\times l$
Segitiga	$a+b+c$	$\frac{1}{2}\times a\times t$
Jajar genjang	$2(a+b)$	$a\times t$
Lingkaran	$2\pi r$	$\pi r^2$
Trapesium	jumlah sisi	$\frac{1}{2}\times (a+b)\times t$

C. Kesebangunan dan Kekongruenan

• Kongruen: sama bentuk dan ukuran (sisi-sisi bersesuaian sama, sudut-sudut bersesuaian sama). Syarat: SSS, SAS, ASA, AAS, RHS.

• Sebangun: sama bentuk tetapi ukuran berbeda (perbandingan sisi bersesuaian sama, sudut bersesuaian sama). Biasanya menggunakan perbandingan.

Contoh Soal OSN

Soal: Segitiga ABC siku-siku di A. ADEC persegi panjang. H pada DE, lingkaran pusat H menyinggung ketiga sisi segitiga ABC. Jika FG = 2 cm, EF = 4 cm, tentukan luas segitiga ABC.
Pembahasan (konsep):
Lingkaran menyinggung sisi segitiga → lingkaran dalam segitiga. Pusat lingkaran dalam adalah perpotongan garis bagi. Hubungan dengan persegi panjang menghasilkan kesebangunan. Biasanya dicari jari-jari lingkaran dalam $r$, lalu luas = $r\times s$ (s = semiperimeter). Dengan data FG dan EF, kita dapatkan panjang sisi. Detail perhitungan memerlukan gambar, tetapi prinsipnya menggunakan kesebangunan segitiga.

---

3. Teorema Pythagoras

A. Rumus Dasar

Pada segitiga siku-siku dengan sisi miring $c$:

$$a^2+b^2=c^2$$

B. Tripel Pythagoras

(3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17), (9,40,41), dan kelipatannya.

C. Penerapan

• Mencari panjang diagonal persegi/persegi panjang.

• Jarak dua titik dalam koordinat.

• Tinggi segitiga sama sisi: $t=\frac{\sqrt{3}}{2}s$.

• Diagonal ruang kubus: $s\sqrt{3}$.

Contoh Soal OSN

Soal: Dalam lingkaran berpusat O, jari-jari 7, segitiga ABC dengan AC diameter, ∠ACB = 60°. Melalui C dan titik tengah AB, dibuat garis memotong lingkaran di D. Tentukan panjang CD.
Pembahasan:
Karena AC diameter, ∠ABC = 90° (sudut keliling menghadap diameter). ∠ACB = 60°, maka ∠BAC = 30°. Dengan AC = 14, diperoleh BC = 7, AB = $7\sqrt{3}$. Titik tengah AB = M. Panjang CM dapat dihitung dengan Pythagoras pada segitiga CMB: CM = $\sqrt{B{C}^2+B{M}^2}=\sqrt{7^2+(3,5\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{49+36,75}=\sqrt{85,75}=\frac{7}{2}\sqrt{7}$. Selanjutnya, gunakan teorema tali busur atau kekuasaan titik untuk mencari CD. Hasil akhir CD = $5\sqrt{7}$ (kunci jawaban B).

---

4. Transformasi (Refleksi, Translasi, Rotasi, Dilatasi)

A. Refleksi (Pencerminan)

• Terhadap sumbu x: $(x,y)\to (x,-y)$

• Terhadap sumbu y: $(x,y)\to (-x,y)$

• Terhadap garis y=x: $(x,y)\to (y,x)$

• Terhadap garis y=-x: $(x,y)\to (-y,-x)$

B. Translasi (Pergeseran)

• $(x,y)\to (x+a,y+b)$

C. Rotasi (Perputaran)

• Pusat O(0,0), sudut θ: $(x,y)\to (x\cos \theta -y\sin \theta ,x\sin \theta +y\cos \theta )$

• Khusus 90°: $(x,y)\to (-y,x)$; 180°: $(x,y)\to (-x,-y)$; 270°: $(x,y)\to (y,-x)$

D. Dilatasi (Perbesaran/Pengecilan)

• Pusat O(0,0), faktor skala k: $(x,y)\to (kx,ky)$

Contoh Soal OSN

Soal: Diketahui segitiga OAB dan OCB dengan O(0,0), A(4,0), B(0,3), C(2,3). Segitiga OCB digeser searah sumbu-x sehingga titik O terletak di tengah sisi OA. Tentukan perbandingan luas irisan kedua segitiga mula-mula dan setelah digeser.
Pembahasan:
Mula-mula: segitiga OAB (siku-siku di O, luas = ½×4×3=6). Segitiga OCB dengan O(0,0), C(2,3), B(0,3) → luas = ½×2×3=3. Irisan kedua segitiga adalah segitiga kecil yang titik sudutnya O, (0,3), dan perpotongan garis AB dengan CB? Setelah digeser: segitiga OCB digeser sehingga O' (titik asal O dari segitiga OCB) berada di tengah OA, yaitu (2,0). Maka translasi sejauh (2,0). Segitiga baru O'C'B' dengan O'(2,0), C'(4,3), B'(2,3). Hitung irisan dengan segitiga OAB (tetap). Luas irisan baru dapat dihitung dengan koordinat. Perbandingan luas = ... Biasanya hasilnya dalam bentuk sederhana.

---

5. Sistem Koordinat Kartesius

A. Kuadran dan Titik

• Kuadran I: (+,+), II: (–,+), III: (–,–), IV: (+,–).

B. Gradien Garis

• $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

• Persamaan garis: $y-y_1=m(x-x_1)$, atau $y=mx+c$.

C. Jarak dan Luas dengan Koordinat

• Jarak dua titik (sudah di atas).

• Luas poligon dengan rumus shoelace:

  $$L=\frac{1}{2}\mid \sum _{i=1}^n(x_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i)\mid$$

Contoh Soal OSN

Soal: Pasangan terurut bilangan bulat (x,y) dengan –5 ≤ x,y ≤ 5 yang memenuhi $10\le x^2+y^2\le 30$ ada sebanyak …
Pembahasan:
Hitung titik kisi dalam lingkaran radius √10 ≈ 3,16 dan √30 ≈ 5,48. Dengan batasan –5 sampai 5, kita hitung manual: semua pasangan (x,y) bulat dalam persegi 11×11 = 121 titik. Hitung yang jaraknya < √10 (tidak termasuk batas bawah) dan yang > √30 (tidak termasuk batas atas). Lebih mudah menghitung langsung: kuadrat jarak dari 10 sampai 30. Daftar kemungkinan x²+y²: 10,13,16,17,18,20,25,26,29. Hitung banyak pasangan untuk setiap nilai. Total = … (jawaban biasanya 68).

---

6. Luas Permukaan dan Volume Bangun Ruang

A. Bangun Ruang Sisi Datar

Bangun	Luas Permukaan	Volume
Kubus	$6s^2$	$s^3$
Balok	$2(pl+pt+lt)$	$p\times l\times t$
Prisma	$2\times \text{luas alas}+\text{keliling alas}\times t$	$\text{luas alas}\times t$
Limas	$\text{luas alas}+\text{jumlah luas sisi tegak}$	$\frac{1}{3}\times \text{luas alas}\times t$

B. Bangun Ruang Sisi Lengkung

Bangun	Luas Permukaan	Volume
Tabung	$2\pi r(r+t)$	$\pi r^{2}t$
Kerucut	$\pi r(r+s)$ ($s$ = garis pelukis)	$\frac{1}{3}\pi r^{2}t$
Bola	$4\pi r^2$	$\frac{4}{3}\pi r^3$

C. Hubungan Antar Bangun

• Irisan kerucut, bola dalam tabung, prisma dalam limas, dll.

Contoh Soal OSN

Soal: Diberikan 4 bola pejal diameter 22 cm dan silinder diameter 46 cm. Dua bola di dasar silinder dengan jarak pusat 24 cm. Dua bola lainnya juga dengan jarak pusat 24 cm dan garis penghubung pusat tegak lurus dengan yang pertama. Air dimasukkan hingga menutupi seluruh bola. Tentukan volume minimum air.
Pembahasan:
Jari-jari bola = 11 cm, jari-jari silinder = 23 cm. Tinggi air minimal = tinggi susunan bola + jari-jari (agar terendam). Susunan: dua bola di bawah bersentuhan, jarak pusat 24 cm → jarak horizontal = 24, vertikal sama (kedua pusat sama tinggi). Dua bola di atas diletakkan melintang. Tinggi total dari pusat bola bawah ke pusat bola atas = jarak antar pusat yang membentuk tetrahedron? Karena jarak pusat 24, dan jari-jari 11, maka pusat bola atas akan berada di atas bidang pusat bawah setinggi $\sqrt{{24}^2-(jarakhorizontalproyeksi{)}^2}$. Dengan konfigurasi tegak lurus, jarak proyeksi = $\sqrt{(12{)}^2+(12{)}^2}=12\sqrt{2}$? Perhitungan lebih lanjut memerlukan geometri ruang. Volume air = volume silinder setinggi tertentu dikurangi volume 4 bola. Hasil akhir salah satu pilihan: $1694\pi$ atau $307\frac{1}{3}\pi$ dll. Biasanya kunci $1694\pi$.

---

Rangkuman Rumus dan Trik

Topik	Rumus/Trik
Jarak titik ke garis	(d = \frac{	Ax_0+By_0+C	}{\sqrt{A^2+B^2}})
Kesebangunan	$\frac{sis{i}_1}{sis{i}_2}=\frac{sis{i}_3}{sis{i}_4}$
Pythagoras	$a^2+b^2=c^2$
Transformasi	Matriks rotasi, translasi (a,b), refleksi
Luas poligon	Shoelace (\frac{1}{2}	\sum (x_i y_{i+1}-x_{i+1} y_i)	)
Volume bola	$\frac{4}{3}\pi r^3$

---

Latihan Soal Mandiri

1. Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, AB=6, BC=8. Tentukan jarak dari titik B ke garis AC.

2. Sebuah persegi panjang berukuran 10×6. Di dalamnya terdapat dua lingkaran identik yang saling bersinggungan dan masing-masing menyinggung dua sisi persegi panjang. Tentukan jari-jari lingkaran.

3. Titik A(2,3), B(5,7), C(1,4). Tentukan bayangan segitiga ABC jika dirotasi 90° berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0,0).

4. Sebuah kerucut memiliki jari-jari alas 7 cm dan tinggi 24 cm. Tentukan luas permukaan kerucut.

5. Dua buah kubus dengan rusuk 4 cm dan 6 cm. Tentukan perbandingan volume dan perbandingan luas permukaannya.

GABUNG SALURAN OSN AGAR TIDAK KETINGGALAN

1. Materi Bilangan - Soal OSN Bilangan 
2. Materi Aljabar - Soal OSN Aljabar
3. Materi Geometri - Soal OSN Geometri
4. Materi Analisis Data dan Peluang - Soal OSN Analisis Data dan Peluang
5. Materi Kapita Selekta - Soal OSN Kapita Selekta

BuSet April 19, 2026 Tags : Matematika , OSN , SMP

Subscribe by Email

Follow Updates Articles from This Blog via Email