Materi Aljabar - OSN Matematika SMP

 

Materi Aljabar – Olimpiade Sains Nasional SMP

Kompetensi

Menerapkan konsep himpunan, relasi, fungsi, perbandingan, persamaan, pertidaksamaan, barisan, deret, dan operasi aljabar dalam menyelesaikan masalah.

Sub-materi

1. Himpunan: pengertian, notasi, dan operasi

2. Relasi dan fungsi (pengertian, grafik, operasi fungsi suku banyak, rasional, akar)

3. Perbandingan senilai dan berbalik nilai

4. Operasi aljabar (bilangan rasional, berpangkat, bentuk akar)

5. Persamaan linear dan kuadrat (satu/dua peubah)

6. Pertidaksamaan linear dan kuadrat (satu/dua peubah)

7. Sistem persamaan linear dua peubah

8. Pola bilangan, barisan, dan deret

---

1. Himpunan

A. Pengertian dan Notasi

• Himpunan: kumpulan objek yang terdefinisi dengan jelas.

• Notasi: { }, anggota ∈, bukan anggota ∉.

• Himpunan kosong ∅, himpunan semesta S.

• Kardinalitas: n(A) = banyak anggota.

B. Operasi Himpunan

• Irisan: $A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ dan }x\in B\}$

• Gabungan: $A\cup B=\{x\mid x\in A\text{ atau }x\in B\}$

• Selisih: $A-B=\{x\mid x\in A\text{ dan }x\mathrm{\notin }B\}$

• Komplemen: $A^c=\{x\mid x\mathrm{\notin }A\}$

• Sifat: distributif, De Morgan: $(A\cup B{)}^c=A^c\cap B^c$, $(A\cap B{)}^c=A^c\cup B^c$

C. Diagram Venn

• Visualisasi untuk menyelesaikan soal irisan/gabungan.

Contoh Soal OSN

Soal: Dari 2000 baterai, kerusakan: Pelat Penutup (30), Elektrolit (50), Terminal (40), Terminal & Pelat (10), Pelat & Elektrolit (19), Terminal & Elektrolit (15), ketiganya (5). Berapa baterai yang tidak rusak?
Pembahasan: Gunakan prinsip inklusi-eksklusi.
Rusak = 30+50+40 – (10+19+15) + 5 = 120 – 44 + 5 = 81.
Tidak rusak = 2000 – 81 = 1919.

---

2. Relasi dan Fungsi

A. Relasi

• Hubungan antara dua himpunan. Dapat dinyatakan dengan diagram panah, himpunan pasangan berurutan, grafik.

B. Fungsi (Pemetaan)

• Setiap anggota domain dipasangkan tepat satu ke kodomain.

• Notasi: $f:A\to B$

• Domain, kodomain, range.

• Sifat: injektif (satu-satu), surjektif (pada), bijektif.

C. Grafik Fungsi

• Fungsi linear: garis lurus $y=mx+c$

• Fungsi kuadrat: parabola $y=a{x}^2+bx+c$

• Fungsi rasional: bentuk $\frac{P(x)}{Q(x)}$, asimtot tegak/datar.

• Fungsi akar: $y=\sqrt{x}$, domain $x\ge 0$.

D. Operasi Fungsi

• Penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian.

• Komposisi: $(f\circ g)(x)=f(g(x))$

• Fungsi invers: $f^{-1}$ jika $f$ bijektif.

E. Fungsi Suku Banyak (Polinomial)

• Bentuk umum: $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0$

• Operasi: penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian (metode Horner).

• Teorema sisa: sisa pembagian $P(x)$ oleh $(x-a)$ adalah $P(a)$.

• Teorema faktor: $(x-a)$ faktor jika $P(a)=0$.

F. Fungsi Rasional dan Akar

• Rasional: $R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$, syarat $Q(x)\mathrm{\ne }0$.

• Akar: $f(x)=\sqrt[n]{g(x)}$, domain $g(x)\ge 0$ untuk n genap.

Contoh Soal OSN

Soal: Diketahui $A=\frac{(p^2+q^2+r^2{)}^2}{p^2{q}^2+q^2{r}^2+r^2{p}^2}$ dan $B=\frac{q^2-pr}{p^2+q^2+r^2}$. Jika $p+q+r=0$, tentukan $A^2-4B$.
Pembahasan (ringkas):
Dari $p+q+r=0$ diperoleh $p^2+q^2+r^2=-2(pq+qr+rp)$ dan $pq+qr+rp=-\frac{1}{2}(p^2+q^2+r^2)$.
Juga $p^2{q}^2+q^2{r}^2+r^2{p}^2=(pq+qr+rp{)}^2-2pqr(p+q+r)=(pq+qr+rp{)}^2$.
Maka $A=\frac{(p^2+q^2+r^2{)}^2}{(pq+qr+rp{)}^2}=\frac{(p^2+q^2+r^2{)}^2}{(-\frac{1}{2}(p^2+q^2+r^2){)}^2}=4$.
Selanjutnya $B=\frac{q^2-pr}{p^2+q^2+r^2}$. Dengan substitusi $r=-p-q$ dan disederhanakan, diperoleh $B=\frac{1}{2}$.
Jadi $A^2-4B=16-2=14$.

---

3. Perbandingan Senilai dan Berbalik Nilai

A. Perbandingan Senilai

• Dua besaran $x$ dan $y$ berbanding senilai jika $y=kx$ (k konstanta).

• Contoh: kecepatan tetap → jarak ∝ waktu.

B. Perbandingan Berbalik Nilai

• $y=\frac{k}{x}$ atau $xy=k$.

• Contoh: waktu ∝ 1/kecepatan.

C. Menyelesaikan Masalah

• Gunakan perkalian silang atau konsep konstanta.

Contoh Soal OSN

Soal: Populasi ikan A semula $x$, B semula $y$. A meningkat 28%, B berkurang 28%, rasio A:B menjadi $\frac{2}{3}$. Tentukan persentase perubahan populasi total.
Pembahasan:
Populasi baru: $A^{\mathrm{\prime }}=1,28x$, $B^{\mathrm{\prime }}=0,72y$. Diketahui $\frac{1,28x}{0,72y}=\frac{2}{3}$ → $1,28x\cdot 3=0,72y\cdot 2$ → $3,84x=1,44y$ → $y=\frac{3,84}{1,44}x=\frac{8}{3}x$.
Total awal $T=x+y=x+\frac{8}{3}x=\frac{11}{3}x$.
Total baru $T^{\mathrm{\prime }}=1,28x+0,72\cdot \frac{8}{3}x=1,28x+1,92x=3,2x=\frac{16}{5}x$.
Perubahan = $\frac{T^{\mathrm{\prime }}-T}{T}\times 100\mathrm{\%}=\frac{\frac{16}{5}x-\frac{11}{3}x}{\frac{11}{3}x}=\frac{\frac{48-55}{15}}{\frac{11}{3}}=\frac{-7\mathrm{/}15}{11\mathrm{/}3}=-\frac{7}{15}\cdot \frac{3}{11}=-\frac{7}{55}\approx -12,73\mathrm{\%}$.
Jadi turun sekitar 12,73%.

---

4. Operasi Aljabar (Rasional, Berpangkat, Bentuk Akar)

A. Operasi Bilangan Rasional

• Penjumlahan/pengurangan: samakan penyebut.

• Perkalian: $\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$

• Pembagian: $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$

B. Bilangan Berpangkat

• Sifat: $a^m{a}^n=a^{m+n}$, $(a^m{)}^n=a^{mn}$, $(ab{)}^n=a^n{b}^n$, $a^{-n}=1\mathrm{/}{a}^n$, $a^{1\mathrm{/}n}=\sqrt[n]{a}$.

C. Bentuk Akar

• Sederhanakan: $\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$.

• Rasionalisasi: $\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}$, $\frac{1}{a+\sqrt{b}}=\frac{a-\sqrt{b}}{a^2-b}$.

Contoh Soal OSN

Soal: Jika $x^3+\frac{1}{x^3}=18$, hitung $x^7+\frac{1}{x^7}+7$.
Pembahasan: (telah di bagian bilangan, tetapi termasuk aljabar).
Misal $t=x+\frac{1}{x}$. Maka $x^3+\frac{1}{x^3}=t^3-3t=18$ → $t^3-3t-18=0$ → $(t-3)(t^2+3t+6)=0$ → $t=3$.
$x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2=7$. $x^4+\frac{1}{x^4}=7^2-2=47$.
$x^7+\frac{1}{x^7}=(x^4+\frac{1}{x^4})(x^3+\frac{1}{x^3})-(x+\frac{1}{x})=47\cdot 18-3=846-3=843$.
Maka $843+7=850$.

---

5. Persamaan Linear dan Kuadrat

A. Persamaan Linear Satu Peubah

• Bentuk $ax+b=0$ → $x=-\frac{b}{a}$.

B. Persamaan Linear Dua Peubah

• Bentuk $ax+by=c$. Banyak penyelesaian (pasangan (x,y)).

• Sistem dua persamaan linear dua peubah (lihat sub-bab 7).

C. Persamaan Kuadrat Satu Peubah

• Bentuk $a{x}^2+bx+c=0$ ($a\mathrm{\ne }0$).

• Rumus ABC: $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

• Diskriminan $D=b^2-4ac$:

  • $D>0$: dua akar real berbeda

  • $D=0$: akar kembar

  • $D<0$: akar imajiner (tidak real)

• Jumlah akar: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

• Hasil kali akar: $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

D. Persamaan Kuadrat Dua Peubah

• Biasanya berbentuk $y=a{x}^2+bx+c$ (fungsi kuadrat), atau persamaan lingkaran $x^2+y^2=r^2$, elips, dll.

Contoh Soal OSN

Soal: Diketahui persamaan $x^4+a{x}^3+54x^2-108x+81=0$ memiliki 4 akar real berbeda $r_1,r_2,r_3,r_4$ dengan $r_1{r}_2{r}_3{r}_4={\left(\frac{r_1+r_2+r_3+r_4}{4}\right)}^4$. Tentukan $a$.
Pembahasan (ringkas):
Dari Vieta: $r_1+r_2+r_3+r_4=-a$, $r_1{r}_2{r}_3{r}_4=81$.
Maka $81={\left(\frac{-a}{4}\right)}^4$ → ${\left(\frac{-a}{4}\right)}^4=81$ → $\frac{a^4}{256}=81$ → $a^4=20736$ → $a^2=144$ → $a=\pm 12$.
Cek diskriminan atau kondisi akar real berbeda. Substitusi $a=12$: persamaan $x^4+12x^3+54x^2-108x+81=0$ dapat difaktorkan? Coba bagi dengan $(x+3{)}^2$? Atau gunakan $(x^2+6x+9{)}^2=x^4+12x^3+54x^2+108x+81$. Tampak berbeda tanda pada suku -108x. Jadi $a=-12$ menghasilkan $x^4-12x^3+54x^2-108x+81=(x^2-6x+9{)}^2=(x-3{)}^4$ (akar kembar, tidak berbeda). Jadi tidak ada yang memenuhi? Mungkin perlu analisis lebih lanjut. Dalam OSN, biasanya jawaban -12 atau 12? Namun dari kunci soal sebelumnya adalah -12? Atau 12? Biar kita ambil kesimpulan: dari bentuk kuadrat sempurna, $(x^2+px+q{)}^2=x^4+2p{x}^3+(p^2+2q)x^2+2pqx+q^2$. Bandingkan: $2p=a$, $p^2+2q=54$, $2pq=-108$, $q^2=81$. $q=\pm 9$. Jika $q=9$, maka $2p\cdot 9=-108$ → $18p=-108$ → $p=-6$. Maka $a=2p=-12$, $p^2+2q=36+18=54$ cocok. Jadi $a=-12$, persamaan menjadi $(x^2-6x+9{)}^2=(x-3{)}^4$, akar-akar 3,3,3,3 (tidak berbeda). Kontradiksi dengan syarat berbeda. Jika $q=-9$, $2p(-9)=-108$ → $-18p=-108$ → $p=6$. $a=12$, $p^2+2q=36-18=18$ tidak sama dengan 54. Jadi tidak ada yang memenuhi syarat akar real berbeda? Mungkin soal ini memiliki keanehan. Tetapi untuk materi, kita cukup pahami cara menggunakan Vieta.

---

6. Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat

A. Pertidaksamaan Linear

• $ax+b<0$, $ax+b>0$, dll. Selesaikan dengan memindahkan ruas.

B. Pertidaksamaan Kuadrat

• Bentuk $a{x}^2+bx+c<0$ (atau >, ≤, ≥).

• Langkah: cari akar-akar, uji tanda pada garis bilangan.

• Perhatikan tanda $a$ (parabola terbuka ke atas/bawah).

C. Pertidaksamaan dengan Nilai Mutlak

• $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<a⟺-a<x<a$

• $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>a⟺x<-a\text{ atau }x>a$

D. Pertidaksamaan Bentuk Akar

• $\sqrt{f(x)}\ge g(x)$ harus memperhatikan domain $f(x)\ge 0$.

Contoh Soal OSN

Soal: Diketahui $\sqrt{x-3}+\sqrt{6-x}\ge p$ memiliki penyelesaian untuk $x\in \mathbb{R}$. Tentukan $p$ terbesar yang mungkin.
Pembahasan:
Domain $3\le x\le 6$. Misal $f(x)=\sqrt{x-3}+\sqrt{6-x}$. Nilai maksimum $f(x)$ terjadi saat $x=\frac{3+6}{2}=4,5$ (gunakan turunan atau kuadratkan).
$f(4,5)=\sqrt{1,5}+\sqrt{1,5}=2\sqrt{1,5}=\sqrt{6}$.
Nilai minimum $f(3)=0+\sqrt{3}=\sqrt{3}$, $f(6)=\sqrt{3}+0=\sqrt{3}$.
Agar pertidaksamaan memiliki penyelesaian, harus ada $x$ sehingga $f(x)\ge p$. Nilai $p$ terbesar adalah nilai maksimum $f(x)$, yaitu $\sqrt{6}$.
Jadi $p_{\text{maks}}=\sqrt{6}$.

---

7. Sistem Persamaan Linear Dua Peubah

A. Bentuk Umum

$$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}$$

B. Metode Penyelesaian

• Substitusi, eliminasi, atau matriks (determinan).

• Determinan: $D=a_1{b}_2-a_2{b}_1$. Jika $D\mathrm{\ne }0$, solusi tunggal. Jika $D=0$ dan salah satu determinan $D_x,D_y$ tidak nol, tidak ada solusi; jika semua nol, banyak solusi.

C. Sistem Tiga Peubah (SPLTV)

• Dapat diselesaikan dengan eliminasi bertahap.

Contoh Soal OSN

Soal: Tiga bersaudara Ana, Bona, Cinta mendapat uang saku dengan pecahan 5k,10k,20k. Ana: x lembar 5k, y lembar 10k, z lembar 20k. Bona: y lembar 5k, z lembar 10k, x lembar 20k. Cinta: z lembar 5k, x lembar 10k, y lembar 20k. Total uang saku ketiganya Rp700.000. Pernyataan yang benar?
Pembahasan:
Total uang masing-masing:
Ana: $5000x+10000y+20000z$
Bona: $5000y+10000z+20000x$
Cinta: $5000z+10000x+20000y$
Jumlah = $5000(x+y+z)+10000(x+y+z)+20000(x+y+z)=35000(x+y+z)=700000$ → $x+y+z=20$.
Tidak cukup informasi untuk menentukan nilai masing-masing. Pernyataan D: "Ana, Bona, Cinta mendapatkan uang saku lembaran Rp10.000 yang sama banyaknya." Artinya $y=z=x$? Tidak bisa disimpulkan. Biasanya jawaban yang benar adalah bahwa total lembaran Rp10.000 mereka sama? Coba: total lembaran 10k = $y+z+x=x+y+z=20$. Masing-masing memiliki $y,z,x$ lembar 10k, jumlahnya sama (20) tapi tidak harus sama per orang. Jadi pernyataan D salah. Dari opsi yang diberikan, mungkin yang benar adalah "Ana, Bona, dan Cinta mendapatkan uang saku lembaran Rp10.000 yang sama banyaknya" jika $x=y=z$? Tidak. Mari kita lihat: tidak ada pernyataan yang pasti benar kecuali total. Soal OSN biasanya meminta kesimpulan yang dapat dipastikan. Dari informasi, kita hanya tahu jumlah lembaran total. Maka tidak ada pernyataan yang benar? Namun dalam kunci biasanya Bona mendapat nilai terbesar? Mari kita hitung: Selisih Ana dan Bona: Ana - Bona = $5000(x-y)+10000(y-z)+20000(z-x)=5000(x-y)+10000(y-z)-20000(x-z)=\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$ tidak sederhana. Karena simetri, tidak ada yang terbesar kecuali ada kondisi tambahan. Jadi untuk materi, kita cukup tahu cara membuat sistem dan menyelesaikan.

---

8. Pola Bilangan, Barisan, dan Deret

A. Pola Bilangan

• Barisan aritmetika: $U_n=a+(n-1)b$, beda $b$.

• Barisan geometri: $U_n=a{r}^{n-1}$, rasio $r$.

• Barisan tingkat dua: $U_n=a{n}^2+bn+c$.

• Pola lainnya: bilangan segitiga, persegi, Fibonacci, dll.

B. Deret

• Deret aritmetika: $S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$

• Deret geometri: $S_n=a\frac{r^n-1}{r-1}$ (untuk $r\mathrm{\ne }1$)

• Deret geometri tak hingga: $S_{\mathrm{\infty }}=\frac{a}{1-r}$ (|r|<1)

C. Notasi Sigma

• ${\sum }_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$

• $\sum k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

• $\sum k^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2$

Contoh Soal OSN

Soal: Diketahui barisan geometri: 80, x, y, z, 3125. Tentukan nilai terkecil yang mungkin dari $x-y+z$.
Pembahasan:
Misal rasio = $r$. Maka $80r^4=3125$ → $r^4=\frac{3125}{80}=\frac{625}{16}$ → $r^2=\frac{25}{4}$ → $r=\pm \frac{5}{2}$.
Kasus 1: $r=\frac{5}{2}$, maka $x=80\cdot \frac{5}{2}=200$, $y=200\cdot \frac{5}{2}=500$, $z=500\cdot \frac{5}{2}=1250$.
$x-y+z=200-500+1250=950$.
Kasus 2: $r=-\frac{5}{2}$, maka $x=80\cdot (-\frac{5}{2})=-200$, $y=-200\cdot (-\frac{5}{2})=500$, $z=500\cdot (-\frac{5}{2})=-1250$.
$x-y+z=-200-500+(-1250)=-1950$.
Nilai terkecil = $-1950$.
Jadi jawabannya -1950.

---

Rangkuman Rumus dan Trik

Topik	Rumus/Trik
Himpunan	$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$
Fungsi komposisi	$(f\circ g)(x)=f(g(x))$
Perbandingan	Senilai: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, berbalik nilai: $ab=cd$
Persamaan kuadrat	$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Diskriminan	$D=b^2-4ac$
Barisan aritmetika	$U_n=a+(n-1)b$, $S_n=\frac{n}{2}(a+U_n)$
Barisan geometri	$U_n=a{r}^{n-1}$, $S_n=a\frac{r^n-1}{r-1}$
Deret tak hingga	$S_{\mathrm{\infty }}=\frac{a}{1-r}$

---

Latihan Soal Mandiri

1. Diketahui $A=\{x\mid 1\le x\le 100,x\text{ kelipatan 3}\}$, $B=\{x\mid 1\le x\le 100,x\text{ kelipatan 5}\}$. Tentukan $n(A\cup B)$.

2. Jika $f(x)=\frac{x}{x+1}$ dan $g(x)=x^2$, tentukan $(f\circ g)(2)$ dan $(g\circ f)(2)$.

3. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 12 orang dalam 8 hari. Jika ingin selesai dalam 6 hari, berapa orang yang diperlukan?

4. Sederhanakan $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$.

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari $x^2-5x+6>0$.

6. Selesaikan sistem: $\{\begin{array}{l}2x+3y=13\\ x-2y=-4\end{array}$.

7. Tentukan suku ke-10 dan jumlah 10 suku pertama dari barisan 3, 7, 11, 15, ...

GABUNG SALURAN OSN AGAR TIDAK KETINGGALAN

1. Materi Bilangan - Soal OSN Bilangan 
2. Materi Aljabar - Soal OSN Aljabar
3. Materi Geometri - Soal OSN Geometri
4. Materi Analisis Data dan Peluang - Soal OSN Analisis Data dan Peluang
5. Materi Kapita Selekta - Soal OSN Kapita Selekta

BuSet April 19, 2026 Tags : Matematika , OSN , SMP

Subscribe by Email

Follow Updates Articles from This Blog via Email