Soal OSN Matematika 2 - Aljabar

a. Himpunan (pengertian, notasi, operasi)

1.
Suatu perusahaan pembuat baterai mobil listrik sedang melakukan kontrol kualitas terhadap 2000 baterai hasil produksinya. Ada tiga jenis kerusakan pada baterai yang dicek, yaitu kerusakan pelat penutup, kerusakan elektrolit, dan kerusakan terminal. Hasil pengecekan kerusakan dirangkum pada tabel berikut.

Jenis Kerusakan	Banyak Baterai Rusak
Pelat Penutup	30
Elektrolit	50
Terminal	40
Terminal dan Pelat Penutup	10
Pelat Penutup dan Elektrolit	19
Terminal dan Elektrolit	15
Pelat Penutup, Elektrolit, dan Terminal	5

Baterai yang tidak mengalami kerusakan sama sekali dikatakan memenuhi standar. Berdasarkan data tersebut, banyaknya baterai yang memenuhi standar adalah ….

b. Relasi dan Fungsi (termasuk grafik, operasi fungsi suku banyak, rasional, akar)

1.
Diketahui

A = \frac{(p^{2} + q^{2} + r^{2})^{2}}{p^{2} q^{2} + q^{2} r^{2} + r^{2} p^{2}}, B = \frac{q^{2} - p r}{p^{2} + q^{2} + r^{2}} .

Jika $p + q + r = 0$ , nilai $A^{2} - 4 B$ adalah ….

2.
Jika

f (x) = 2025 + \frac{x + 1}{x} + \frac{x^{2} + 2}{x^{2}} + \frac{x^{3} + 3}{x^{3}} + \dots + \frac{x^{10} + 10}{x^{10}},

maka nilai $f (2) + f (1) - f (- 1) - f (- 2)$ adalah ….

c. Perbandingan senilai dan berbalik nilai

1.
Misalkan populasi ikan A semula adalah $x$ dan populasi ikan B semula adalah $y$ . Sekarang, populasi ikan A meningkat sebanyak 28% dan populasi ikan B berkurang sebanyak 28%, sehingga rasio antara populasi ikan A dengan populasi ikan B menjadi $\frac{2}{3}$ . Persentase perubahan populasi keseluruhan ikan sekarang dibandingkan dengan total populasi ikan semula adalah ….

2.
A bergerak mendekati B yang berjarak 55 km dengan kecepatan 5 km/jam. Satu jam kemudian, B bergerak menuju A dengan kecepatan $x$ km/jam, dengan $x$ adalah waktu (dalam jam) ketika B berangkat sampai bertemu A. Grafik yang menyatakan hubungan antara waktu ( $t$ ) yang dibutuhkan A bertemu B dengan jarak ( $S$ ) A dan B adalah ….

d. Operasi aljabar (melibatkan bilangan rasional, berpangkat, bentuk akar)

Catatan: Soal yang murni operasi aljabar seperti penyederhanaan bentuk akar atau pangkat sebagian besar telah masuk kategori Bilangan. Berikut soal yang masih relevan:

1.
Diketahui $x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = 18$ dan $x \neq 0$ . Nilai dari $(x^{7} + \frac{1}{x^{7}}) + 7$ adalah ….

2.
Jika $a = \frac{(- 1)^{4} \times 4 + (- 1)^{3} \times 3 + (- 1)^{2} \times 2 + (- 1)^{1} \times 1}{2^{3}}$ , maka nilai dari $\frac{a + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a}}$ adalah ….

e. Persamaan linear dan kuadrat (satu atau dua peubah)

1.
Jika $(x, y)$ adalah pasangan bilangan bulat positif yang memenuhi

x^{2} + 2023 x + 2023 = y^{2}

dengan $x > y$ . Banyaknya pasangan $(x, y)$ yang mungkin adalah ….

2.
Diketahui suatu konstanta $k > 0$ . Garis $ℓ$ dengan persamaan $y = 2 k x + 3 k^{2}$ memotong parabola $y = x^{2}$ di titik $P$ di kuadran I dan titik $Q$ di kuadran II. Jika koordinat titik $O$ adalah $(0, 0)$ dan luas daerah $△ P O Q$ adalah 48 satuan luas, maka kemiringan garis $ℓ$ adalah ….

3.
Diketahui persamaan

x^{4} + a x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81 = 0

dengan $a$ bilangan real, memiliki 4 akar real berbeda $r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4}$ . Jika

r_{1} \times r_{2} \times r_{3} \times r_{4} = {(\frac{r_{1} + r_{2} + r_{3} + r_{4}}{4})}^{4},

maka nilai $a$ adalah ….

4.
Jika bilangan real positif $p, q, r, s$ memenuhi sistem persamaan

p^{2} + q^{2} = r^{2} + s^{2}, p^{2} + s^{2} - p s = q^{2} + r^{2} + q r,

maka nilai $\frac{p q + r s}{p s + q r}$ adalah ….

f. Pertidaksamaan linear dan kuadrat (satu atau dua peubah)

1.
Diketahui pertidaksamaan

\sqrt{x - 3} + \sqrt{6 - x} \geq p

memiliki penyelesaian untuk $x \in R$ . Nilai $p$ terbesar yang mungkin adalah ….

g. Sistem persamaan linear dua peubah (dan tiga peubah)

1.
Tiga bersaudara Ana, Bona, dan Cinta mendapatkan uang saku bulanan dalam bentuk uang pecahan Rp5.000, Rp10.000, serta Rp20.000 dengan pembagian sebagai berikut:

Ana mendapatkan $x$ lembar Rp5.000, $y$ lembar Rp10.000, serta $z$ lembar Rp20.000.
Bona mendapatkan $y$ lembar Rp5.000, $z$ lembar Rp10.000, serta $x$ lembar Rp20.000.
Cinta mendapatkan $z$ lembar Rp5.000, $x$ lembar Rp10.000, serta $y$ lembar Rp20.000.
Diketahui total uang saku ketiganya adalah Rp700.000. Pernyataan benar tentang uang saku mereka yang dapat disimpulkan dari informasi tersebut adalah ….

2.
Diketahui sistem persamaan berikut dengan $a, b, c$ bilangan real positif:

\begin{aligned} a & = b c \\ b & = c (a + 2) \\ c & = b (a - 2) \end{aligned}

Nilai dari $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ adalah ….

h. Pola bilangan, barisan, dan deret

1.
Diketahui barisan geometri: $80, x, y, z, 3125$ . Nilai terkecil yang mungkin dari $x - y + z$ adalah ….

2.
Enam bilangan prima yang kurang dari 160 membentuk barisan aritmetika dengan beda lebih dari 1. Jumlah keenam bilangan tersebut adalah ….

3.
Perhatikan barisan bilangan berikut:
1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, …
Suku-suku barisan tersebut diperoleh dari semua bilangan bulat positif dengan menghilangkan semua bilangan kelipatan 5. Suku ke-2025 barisan tersebut adalah ….

4.
Bilangan segi lima ke- $n$ adalah banyaknya titik yang membentuk $n$ segi lima seperti diilustrasikan. Bilangan segi lima ke-0 adalah 1, ke-1 adalah 5, ke-2 adalah 12, ke-3 adalah 22. Bilangan segi lima yang paling dekat dengan 2025 adalah bilangan segi lima ke-….

5.
Jika $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ dengan $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ dan $0! = 1$ , maka nilai deret berikut adalah

\frac{1}{1} (\binom{20}{0}) + \frac{1}{2} (\binom{20}{1}) + \frac{1}{3} (\binom{20}{2}) + \frac{1}{4} (\binom{20}{3}) + \dots + \frac{1}{21} (\binom{20}{20}) .

BuSet April 19, 2026 Tags : Matematika , OSN , SMP