Soal OSN Matematika SMP 2021 - 2024 Kategori Aljabar

 Soal OSN Matematika SMP Kategori Aljabar

1. Halaman 2, Soal 6
   Suatu fungsi suku banyak berderajat $n$ dapat dinyatakan dalam bentuk

   $$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0$$

   dengan $a_n\mathrm{\ne }0$. Diketahui fungsi suku banyak $T(x)$ memenuhi persamaan

   $$2T(-c+2T(x))=c+x^{16}\mathrm{.}$$

   Tentukan $T(x)$ jika $T(2)=2021$.

2. Halaman 7, Soal 6
   Suatu fungsi suku banyak berderajat $n$ dapat dinyatakan dalam $f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+a_0$ dengan $a_n\mathrm{\ne }0$. Diketahui fungsi suku banyak $U(x)$ memenuhi persamaan

   $$U(U(x)-2021)-32x^{16}-2021=0.$$

   Tentukan $U(2)$.

3. Halaman 10, Soal 6
   Diketahui suatu suku banyak berderajat $n$

   $$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0$$

   dengan $a_n\mathrm{\ne }0$. Suatu fungsi suku banyak $R(x)$ memenuhi persamaan

   $$R(c+R(x))=x^{36}-c\mathrm{.}$$

   Tentukan $R(x)$ jika $R(2)=2021$.

4. Halaman 32, Soal (bagian atas)
   Bilangan $f_n$ didefinisikan sebagai berikut:

   $$\begin{array}{rl}{\displaystyle f_1}& {\displaystyle =2,}\\ {\displaystyle f_2}& {\displaystyle =5,}\end{array}$$$$f_n=\frac{1}{2}(f_{n-1}+f_{n-2})\text{untuk }n\ge 3.$$

   Tentukan nilai dari

   $$f_{2023}+2f_{2024}\mathrm{.}$$

   Jika

   $$g(x)=\frac{x}{1-2x}-\frac{x}{2},$$

   tentukan semua nilai dari

   $$\frac{g(-x)-g(x)}{g(23)}$$

   untuk semua $x\in \mathbb{R}$ dan $x\mathrm{\ne }0$.

5. Halaman 34, Soal (tripel real)
   Tentukan semua tripel bilangan real $(x,y,z)$ yang memenuhi sistem persamaan berikut:

   $$\begin{array}{rl}{\displaystyle yz}& {\displaystyle =2-x,}\\ {\displaystyle xz}& {\displaystyle =\sqrt{2}-\frac{1}{2}y,}\\ {\displaystyle xy}& {\displaystyle =-1-\frac{1}{4}z\mathrm{.}}\end{array}$$

6. Halaman 38, Soal 6
   Jika $(x,y)$ adalah pasangan bilangan bulat positif yang memenuhi

   $$x^2+2023x+2023=y^2$$

   dengan $x>y$, banyaknya pasangan $(x,y)$ yang mungkin adalah ....

7. Halaman 38, Soal 7
   Misalkan populasi ikan A semula adalah $x$ dan populasi ikan B semula adalah $y$. Sekarang, populasi ikan A meningkat sebanyak 28% dan populasi ikan B berkurang sebanyak 28%, sehingga rasio antara populasi ikan A dengan populasi ikan B menjadi $\frac{y}{x}$. Persentase perubahan populasi keseluruhan ikan sekarang dibandingkan dengan total populasi ikan semula adalah ....

8. Halaman 38, Soal 8
   Diketahui

   $$x^2+\sqrt{xy}+y^2=168,$$$$x-\sqrt{xy}+y=10.$$

   Jumlah semua nilai $x+\sqrt{xy}+y$ yang mungkin adalah ....

9. Halaman 38, Soal 9
   Jika $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ dengan $n!=1\times 2\times \cdots \times n$ dan $0!=1$, maka nilai deret berikut adalah ...

   $$\frac{1}{1}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{0}\right)+\frac{1}{2}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{1}\right)+\frac{1}{3}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{2}\right)+\frac{1}{4}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{3}\right)+\cdots +\frac{1}{21}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{20}\right)\mathrm{.}$$

10. Halaman 38, Soal 10
    Perhatikan kedua persamaan berikut:

    $$A=\frac{(p^2+q^2+r^2{)}^2}{p^2{q}^2+q^2{r}^2+r^2{p}^2},$$$$B=\frac{q^2-pr}{p^2+q^2+r^2}\mathrm{.}$$

    Jika $p+q+r=0$, nilai $A^2-4B$ adalah ....

11. Halaman 39, Soal 12
    Diketahui barisan bilangan bulat $x_1,x_2,\dots ,x_{2023}$ memenuhi tiga syarat berikut:

    $$\begin{array}{rl}{\displaystyle x_1+x_3+\cdots +x_{2023}}& {\displaystyle =25-(x_2+x_4+\cdots +x_{2022}),}\\ {\displaystyle x_1^2+x_3^2+\cdots +x_{2023}^2}& {\displaystyle =125-(x_2^2+x_4^2+\cdots +x_{2022}^2),}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -2\le x_i\le 1\text{untuk }i=1,2,\dots ,2023.}\end{array}$$

    Nilai terkecil yang mungkin untuk $x_1^3+x_2^3+\cdots +x_{2023}^3$ adalah ....

12. Halaman 39, Soal 13
    A bergerak mendekati B yang berjarak 55 km dengan kecepatan 5 km/jam. Satu jam kemudian, B bergerak menuju A dengan kecepatan $x$ km/jam, dengan $x$ adalah waktu (dalam jam) ketika B berangkat sampai bertemu A. Grafik yang menyatakan hubungan antara waktu $t$ yang dibutuhkan A bertemu B dengan jarak $S$ A dan B adalah ....

13. Halaman 43, Soal 3
    Bilangan bulat $a,b,c$ memenuhi

    $$a^3-b^3-c^3=3abc,$$$$a^2=6(b+c),$$

    dan $a^2+b^2+c^2\mathrm{\ne }bc-a(b+c)$.
    Hasil penjumlahan semua faktor positif dari nilai $a$ terbesar yang mungkin adalah ....

14. Halaman 44, Soal 6
    Jika $x$ merupakan akar dari

    $$x^2+x-1=0,$$

    maka nilai $n$ yang memenuhi

    $$x^{2023}-x^{2024}=(x(1-x){)}^n$$

    adalah ....

15. Halaman 44, Soal 8
    Bilangan real $x$ memenuhi persamaan berikut:

    $$\sqrt{2x+\sqrt{2x}}-\sqrt{2x-\sqrt{2x}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2x}{2x-\sqrt{2x}}}\mathrm{.}$$

    Nilai dari $32x$ adalah ....

16. Halaman 44, Soal 9
    Misalkan $x,y,z$ adalah bilangan real positif yang memenuhi sistem persamaan:

    $$\begin{array}{rl}{\displaystyle x+y+z}& {\displaystyle =6,}\\ {\displaystyle x^2+y^2+z^2}& {\displaystyle =20,}\\ {\displaystyle x^3+y^3+z^3}& {\displaystyle =72.}\end{array}$$

    Nilai dari $x^4+y^4+z^4$ adalah ....

17. Halaman 45, Soal 10
    Diketahui fungsi-fungsi
    $F_1(x),F_2(x),F_3(x),\dots ,F_{1000}(x)$
    dengan $F_1(x)=x$ dan untuk $n\ge 1$
    $F_{n+1}(x)=\frac{1}{1-F_n(x)}$.
    Jika $K$ adalah bilangan genap tiga digit dan $F_K(K)=K$, maka banyaknya semua nilai $K$ yang mungkin adalah ....

18. Halaman 56, Soal
    Jika bilangan real positif $p,q,r,s$ memenuhi sistem persamaan

    $$p^2+q^2=r^2+s^2,$$$$p^2+s^2-ps=q^2+r^2+qr,$$

    nilai dari

    $$\frac{pq+rs}{ps+qr}$$

    adalah ...
    A. $\frac{\sqrt{2}}{3}$
    B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
    C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
    D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

19. Halaman 57, Soal
    Diketahui pertidaksamaan

    $$\sqrt{x-3}+\sqrt{6-x}\ge p$$

    memiliki penyelesaian untuk $x\in \mathbb{R}$.
    Nilai $p$ terbesar yang mungkin adalah ...
    A. $\sqrt{6}$
    B. $3$
    C. $\sqrt{6}+\sqrt{3}$
    D. $6$

20. Halaman 59, Soal 11
    Jika $x^3+\frac{1}{x^3}=18$ dan $x\mathrm{\ne }0$, maka nilai dari

    $$\frac{x^7+1}{x^7}+7$$

    adalah ...
    A. 845
    B. 850
    C. 855
    D. 860

21. Halaman 60, Soal 12
    Diketahui persamaan

    $$x^4+a{x}^3+54x^2-108x+81=0$$

    dengan $a$ bilangan real, memiliki 4 akar real berbeda, yaitu $r_1,r_2,r_3,r_4$.
    Jika

    $$r_1\times r_2\times r_3\times r_4={\left(\frac{r_1+r_2+r_3+r_4}{4}\right)}^4,$$

    maka nilai dari $a$ adalah ...
    A. -12
    B. -8
    C. 3
    D. 12

22. Halaman 61, Soal 13
    Diketahui sistem persamaan berikut dengan $a,b,c$ bilangan real positif:

    $$\begin{array}{rl}{\displaystyle a}& {\displaystyle =bc,}\\ {\displaystyle b}& {\displaystyle =c(a+2),}\\ {\displaystyle c}& {\displaystyle =b(a-2)\mathrm{.}}\end{array}$$

    Nilai dari $a^2+b^2+c^2$ adalah ...
    A. 15
    B. 15 – 4√5
    C. 225
    D. 15 + 4√5

23. Halaman 76, Soal 6
    Diberikan dua fungsi

    $$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =x^3-p{x}^2+189x-q,}\\ {\displaystyle g(x)}& {\displaystyle =x^3-r{x}^2+144x-s\mathrm{.}}\end{array}$$

    Akar $f(x)$ adalah $a,a,b$, sedangkan akar $g(x)$ adalah $a,b,b$.
    Jika $a,b,p,q,r,s$ bilangan bulat positif, maka nilai

    $$(p+q)-(r+s)=\dots$$

24. Halaman 76, Soal 7
    Misalkan

    $$k=\frac{pq+2024}{p+2024}+\frac{qr+2024}{(q+1)2024}+\frac{rs+2024}{r+2024}+\frac{sp+2024}{(s+1)2024}$$

    dengan $p,q,r,s$ bilangan real positif dan $pqrs={2024}^2$. Jika $x$ adalah nilai minimum dari $k$, maka nilai dari $1000x$ adalah ....

25. Halaman 76, Soal 9
    Diketahui untuk setiap nilai $a$ dan $b$ pada fungsi $f$ dan $g$ memenuhi persamaan:

    $$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2f(a)+3g(b)}& {\displaystyle =6,}\\ {\displaystyle 3f(b)+2g(a)}& {\displaystyle =7,}\\ {\displaystyle [f(a){]}^2+[g(a){]}^2}& {\displaystyle =1,}\\ {\displaystyle f(a+b)}& {\displaystyle =f(a)g(b)+f(b)g(a)\mathrm{.}}\end{array}$$

    Nilai dari $f(a+b)=\dots$

26. Halaman 76, Soal 10
    Suatu fungsi kuadrat $y=f(x)$ melalui titik $(0,3)$ dan memenuhi $-1\le f(-2)\le 1$ serta $-2\le f(2)\le 2$.
    Jika nilai maksimum fungsi kuadrat $y=f(x)$ adalah $M$, maka nilai $840M=\dots$

27. Halaman 83, Soal 2 (OSN 2024)
    Misalkan $x_1,x_2,x_3,\dots ,x_{22}$ adalah barisan aritmetika yang hasil penjumlahan semua sukunya adalah 2024. Diketahui $A=x_1+x_3+\cdots +x_{21}$ dan $B=x_2+x_4+\cdots +x_{22}$ dengan $A:B=11:12$. Tentukan selisih nilai suku terbesar dan suku keempat dari barisan aritmetika tersebut.

28. Halaman 109, Soal 6 (OSN 2024)
    Dalam babak bonus suatu kuis, seorang pemain diminta menekan tombol yang akan menampilkan secara acak dua bilangan bulat positif yang kurang dari 100 di layar. Ia akan mendapatkan hadiah utama jika jumlah dan hasil kali kedua bilangan yang tampil adalah bilangan kuadrat. Tentukan banyaknya kemungkinan ia mendapatkan hadiah utama.

29. Halaman 111, Soal 7 (OSN 2024)
    Didefinisikan bilangan Salas adalah bilangan tiga angka yang dapat dinyatakan dalam bentuk $\pm abc\times {10}^n$ dengan $n\in \{-2,-1,0\}$.
    Jika $f(x)=2x^3-x^2-6x+3$, maka tentukan semua bilangan Salas $x$ yang memenuhi $-0,02<f(x)<-0,01$.

Posted by : BuSet Maret 09, 2026 Tags : Matematika , OSN , SMP

Subscribe by Email

Follow Updates Articles from This Blog via Email