Soal OSN Matematika SMP 2021 - 2024 Topik Bilangan

 

Soal OSN Matematika SMP Topik Bilangan

1. Halaman 1, Soal 1
   Jika n adalah banyak bilangan 1 yang muncul pada hasil penjumlahan berikut

   $$1+11+111+\cdots +11\dots 11,\text{201 digit}$$

   tentukan banyak digit k yang merupakan penyelesaian pada persamaan di bawah ini.

   $$\begin{array}{c}11\dots 100\dots 0+88\dots 80=9(k^2-1)\mathrm{.}\\ \text{n}\text{n}+2\text{n}\end{array}$$

2. Halaman 2, Soal 7
   Diketahui aba adalah bilangan tiga digit dengan a × b = 24. Koleksi(n) adalah barisan bilangan bulat positif yang jumlah dan hasil kali semua sukunya sama dengan n. Sebagai ilustrasi, dua contoh Koleksi(12) adalah 1,1,1,1,2,6 dan 1,1,1,1,1,3,4. Jika m adalah banyak suku dari Koleksi(aba), tentukan nilai terbesar m yang mungkin.

3. Halaman 2, Soal 10
   Dari kubus-kubus yang telah dinomori 1, 2, 3, dst. akan dipilih kubus-kubus yang dapat dimasukkan ke dalam kelompok A, B, dan C dengan kriteria sebagai berikut.
   • Kelompok A: kubus dengan nomor 1 (kubus-1).
   • Kelompok B: kubus yang nomornya hanya memiliki satu faktor prima, yaitu 3. (Contoh: kubus-3, kubus-27)
   • Kelompok C: kubus yang nomornya dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan nomor kubus-kubus berbeda yang ada di kelompok A ataupun kelompok B (Contoh: kubus-4, kubus-30, kubus-31)
   Kubus-kubus di kelompok A, B, C dapat disusun menjadi piramida dengan banyak kubus di tiap tingkatnya tertentu dan nomornya terurut dari kecil ke besar seperti terlihat pada ilustrasi piramida tingkat 2 dan tingkat 3 sebagai berikut.
   [Gambar piramida]
   Jika kubus-9 ada di suatu piramida, posisi kubus-9 akan selalu berada di lapisan ke-2, baris ke-1, kolom ke-3. Posisi kubus-9 dapat ditulis dengan (2,1,3).
   Apabila kubus-2021 dimasukkan dalam suatu piramida sesuai dengan urutannya, maka tentunya akan menggeser kubus-kubus dengan nomor yang lebih tinggi.
   Jika kubus-2021 terletak di lapisan ke-m, tentukan nomor kubus yang posisinya (m,m,m).

4. Halaman 5, Soal 1
   Diketahui k adalah penyelesaian dari persamaan berikut ini:

   $\sqrt{11\cdots 100\cdots 0+77\cdots 700\cdots 0+11\cdots 1}=9k^2\mathrm{.}$ $2n4n+32n+12n+12n+2$
   Jika banyaknya digit dari k adalah (a – b)2n + a – 1, tentukan semua kemungkinan nilai a + b.

5. Halaman 5, Soal 2
   Perhatikan proses penyusunan segitiga bilangan berikut.
   [Tabel bilangan]
   Untuk menyusun segitiga bilangan yang mengandung 27 diperlukan minimal 4 baris. Posisi dari 27 dapat dinyatakan dengan p(27) = [4,5] yang mana menunjukkan 27 terletak di baris ke-4 dan urutan ke-5 di baris tersebut. Bilangan yang berada di tengah baris ke-4 adalah 25 dan dapat dinyatakan dengan t(4) = 25. Jika p(2021) = [n,m], maka tentukan nilai dari t(m × n).

6. Halaman 7, Soal 7
   Diketahui pqp adalah bilangan tiga digit dengan p × q = 18. Koleksi(a) adalah barisan bilangan bulat positif yang jumlah dan hasil kali semua sukunya sama dengan a. Sebagai ilustrasi, dua contoh Koleksi(8) adalah 1,1,2,4 dan 1,1,2,2,2. Jika s adalah banyak suku dari Koleksi(pqp), tentukan nilai terkecil s yang mungkin dengan s > 1.

7. Halaman 9, Soal 1
   Tentukan banyak digit k yang merupakan penyelesaian dari persamaan berikut ini:

   $$\begin{array}{c}11\dots 1+77\dots 700\dots 0+11\dots 100\dots 0=81k^3\mathrm{.}\\ \text{n}+2\text{n}+1\text{n}+1\text{n}\text{n}\end{array}$$

8. Halaman 9, Soal 2
   Diketahui bahwa bilangan ganjil dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari beberapa bilangan terurut. Sebagai contoh 15 = 7 + 8 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5. Contoh lainnya adalah 21 = 10 + 11 = 6 + 7 + 8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6. Dengan demikian representasi terpanjang sebagai jumlah bilangan terurut dari 15 terdiri atas 5 bilangan dan dari 21 terdiri atas 6 bilangan. Tentukan representasi terpanjang dari jumlah bilangan terurut dari 57.

9. Halaman 9, Soal 5
   Tentukan sisa pembagian $2^{2022}+2020$ dengan $2^{1011}+2^{506}+1$.

10. Halaman 10, Soal 7
    Diketahui abba adalah bilangan empat digit dengan a × b = 12. Koleksi(p) adalah barisan bilangan bulat positif yang jumlah dan hasil kali semua sukunya sama dengan p. Sebagai ilustrasi, dua contoh Koleksi(8) adalah 1,1,2,2,2 dan 1,1,2,4. Jika t adalah banyak suku dari Koleksi(abba), tentukan nilai terbesar t yang mungkin.

11. Halaman 12, Soal 1
    Misalkan n adalah bilangan bulat terbesar yang didapat dengan cara menyelesaikan pertidaksamaan berikut:

    $$\frac{3+9+18+30+\cdots +n}{n}<2021.$$

    Kunci Jawaban : n = 1346

12. Halaman 12, Soal 2
    Diketahui suatu persamaan $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=2021$ dimana ab > 1. Berapakah nilai terkecil ab sehingga a + b merupakan bilangan bulat positif?
    Kunci Jawaban : 2025

13. Halaman 12, Soal 3
    Misal k bilangan bulat positif. Nilai k yang memenuhi $\frac{3k^2-3k}{2k^2-10k+8}$ bilangan bulat positif adalah …
    Kunci Jawaban : 16

14. Halaman 14, Soal 9
    Dalam suatu permainan Tebak Angka, setiap angka yang muncul di layar harus diubah ke dalam basis 8 dengan aturan sebagai berikut:
    Untuk n anggota himpunan bilangan bulat positif, n dapat dinyatakan dalam basis 8, jika

    $$n=a_k{8}^k+a_{k-1}{8}^{k-1}+\cdots +a_{1}8+a_0,$$

    maka n dapat dituliskan sebagai

    $$n=(a_k{a}_{k-1}{a}_{k-2}\dots a_1{a}_0{)}_8\mathrm{.}$$

    Angka yang muncul di layar adalah 2021 dan 2050. Berapakah jumlah digit terbesar dari basis kedua angka yang muncul?
    Kunci Jawaban : 19

15. Halaman 15, Soal 10
    Pada suatu kotak terdapat beberapa bola bernomor. Di antara nomor bola tersebut terdapat faktor prima dari 2021, serta akar bilangan asli dari persamaan polinomial berikut:

    $$x^3-9x^2+24x-20=0.$$

    Bila diambil satu bola secara acak, maka peluang terambil bola bernomor genap adalah ...
    Kunci Jawaban : 2/5

16. Halaman 16, Soal 1
    Untuk n anggota himpunan bilangan bulat positif, n dinyatakan dalam basis 2, yakni

    $$n=a_k{2}^k+a_{k-1}{2}^{k-1}+\cdots +a_{1}2+a_0,$$

    Dengan aᵢ bernilai 0 atau 1. Misalkan faktorisasi dari n adalah 3 x 17. Nyatakan n ke dalam basis 2.
    Kunci Jawaban: (110011)₂

17. Halaman 16, Soal 2
    Diketahui a dan b merupakan bilangan prima yang memenuhi persamaan

    $$(a^2+b{)}^{3a-b}=256.$$

    Jika x dan y merupakan penyelesaian dari persamaan di atas, maka jumlah dari semua nilai x dan y yang memenuhi adalah….
    Kunci Jawaban : 10

18. Halaman 16, Soal 3
    Diketahui a = 2k + 1 dan b = 3k – 6 dengan k bilangan bulat positif. Tentukan nilai k sehingga (a b)² merupakan bilangan bulat positif …
    Kunci Jawaban : 7

19. Halaman 18, Soal 10
    Sisi-sisi suatu segitiga diketahui merupakan akar bilangan asli dari persamaan polinomial berikut:

    $$x^3-12x^2+47x-60=0.$$

    Luas segitiga tersebut adalah ... satuan luas.
    Kunci Jawaban : 6

20. Halaman 20, Soal 1
    Terdapat 4 orang perawat menjaga pasien Covid-19, yaitu Andi, Budi, Citra dan Deni. Perawat Andi menjaga pasien setiap 2 hari sekali, Perawat Budi menjaga pasien setiap 3 hari sekali, Perawat Citra menjaga pasien setiap 4 hari sekali, dan Perawat Deni menjaga pasien setiap 5 hari sekali. Karena pada hari senin pasien covid penuh, sehingga pada tanggal tersebut keempat perawat pertama kali menjaga pasien Covid-19 bersama-sama. Ketika mereka akan berjaga Bersama-sama untuk ketiga kalinya, Andi tidak bertugas. Pada hari apa mereka dapat bertugas kembali Bersama-sama untuk ketiga kalinya dan siapa saja yang bertugas di hari tersebut?
    Kunci Jawaban: Hari:Sabtu. Perawat: Budi, Citra, dan Deni.

21. Halaman 20, Soal 2
    Diberikan dua buah bilangan yakni m dan n dimana:
    $m=202120212021\times 2020202020202020$
    $n=202020202020\times 2021202120212021$
    Berapakah nilai dari $2021m-n$?
    Kunci Jawaban: 1

22. Halaman 20, Soal 3
    Misal k bilangan bulat positif. Nilai k yang memenuhi $\frac{9k^2-9k+2}{6k^2-28k+16}$ bilangan bulat positif adalah…
    Kunci Jawaban: k = 4 dan k = 15

23. Halaman 22, Soal 9
    Rata-rata umur A dan B saat ini adalah 15 tahun. Beberapa tahun kemudian, umur C adalah 10 tahun dan rata-rata umur mereka bertiga adalah 20 tahun. Beberapa tahun setelah C berumur 10 tahun, umur D adalah 18 tahun dan rata-rata umur mereka berempat adalah 24 tahun. Berapakah umur E jika umur D adalah 23 tahun dan rata-rata umur mereka berlima adalah 30 tahun?
    Kunci Jawaban: 34 tahun

24. Halaman 22, Soal 10
    Pada suatu kompetisi rahasia, 12 orang siswa harus membentuk tiga tim berbeda. Banyaknya anggota setiap tim ditetapkan sesuai dengan akar bilangan asli dari persamaan polinomial berikut:

    $$x^3-12x^2+47x-60=0.$$

    Banyak cara berbeda untuk membentuk tim tersebut adalah ...
    Kunci Jawaban: 3960

25. Halaman 24, Soal 1
    Untuk mengisi liburan, Nina dan Naili bermain suatu permainan. Nina mendapatkan nilai sebesar 15642 sedangkan Naili mendapatkan nilai sebesar 51070. Berdasarkan nilai mereka, pemenang dalam permainan tersebut adalah …
    Kunci Jawaban : Nina

26. Halaman 24, Soal 2 (sama dengan no.12)
    Diketahui suatu persamaan $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=2021$ dengan $ab>1$. Misalkan nilai terkecil $ab$ sehingga $a+b$ merupakan bilangan bulat positif adalah $\frac{p}{q}$, maka $p-q$ adalah ...
    Kunci Jawaban : 2

27. Halaman 24, Soal 3 (sama dengan no.13)
    Misalkan $k$ bilangan bulat positif. Nilai $k$ yang memenuhi $\frac{3k^2-3k}{2k^2-10k+8}$ bernilai bilangan bulat positif adalah …
    Kunci Jawaban : 16

28. Halaman 25, Soal 8
    Diketahui suatu data terdiri dari 9 bilangan asli yang diurutkan dari terkecil hingga terbesar. Median dan rata-rata dari data tersebut adalah 10. Data kelima hingga data terbesar membentuk barisan aritmatika dengan beda sebesar data pertama. Data kedua hingga data ke empat adalah bilangan berurutan dengan jumlahnya sama dengan data terbesar. Hasil kali antara data ketiga dan data kedelapan adalah …
    Kunci Jawaban : 96

29. Halaman 25, Soal 9 (sama dengan no.14)
    Dalam suatu permainan Tebak Angka, setiap angka yang muncul di layar harus diubah ke dalam basis 8 ... Angka yang muncul di layar adalah 2021 dan 2050. Jumlah digit terbesar dari basis kedua angka yang muncul adalah …
    Kunci Jawaban : 19

30. Halaman 26, Soal 10 (sama dengan no.15)
    Pada suatu kotak terdapat beberapa bola bernomor yang terdiri dari faktor prima dari 2021 dan akar bilangan asli dari persamaan polinomial berikut:

    $$x^3-9x^2+24x-20=0.$$

    Bila diambil satu bola secara acak, maka peluang terambil bola bernomor genap adalah ...
    Kunci Jawaban : 2/5

31. Halaman 27, Soal 1
    Bus Tayo beroperasi setiap 4 hari sekali, Bus Rogi beroperasi setiap 2 hari sekali, Bus Gani beroperasi setiap 6 hari sekali, dan Bus Lani beroperasi setiap 12 hari sekali. Perusahaan mengurangi biaya operasional sehingga setelah periode ketiga, terjadi perubahan jadwal pada bus Rogi setiap 5 hari sekali. Misalkan pula mereka beroperasi pada hari Senin, mereka akan beroperasi bersama-sama untuk ketiga kalinya pada hari …
    Kunci Jawaban : Sabtu

32. Halaman 27, Soal 2 (sama dengan no.17)
    Diketahui a dan b merupakan bilangan prima yang memenuhi persamaan

    $$(a^2+b{)}^{3a-b}=256.$$

    Jumlah semua nilai a dan b yang memenuhi adalah ….
    Kunci Jawaban : 10

33. Halaman 27, Soal 3 (sama dengan no.18)
    Diketahui a = 2k + 1 dan b = 3k – 6 dengan k bilangan bulat positif. Jumlah semua nilai k yang membuat (a/b)² merupakan bilangan bulat positif adalah ….
    Kunci Jawaban : 8

34. Halaman 29, Soal 8
    Diketahui suatu data terdiri dari 9 bilangan asli yang diurutkan dari terkecil hingga terbesar. Median, modus dan rata-rata dari data tersebut masing-masing adalah 10, 10 dan 11. Data kelima hingga data terbesar membentuk barisan aritmatika dengan beda sebesar data pertama. Data kedua hingga data ke empat adalah bilangan berurutan yang memuat modus. Hasil kali antara data kedua dan data kedelapan adalah ….
    Kunci Jawaban : 128

35. Halaman 30, Soal 1 (mirip no.20)
    Empat orang perawat menjaga pasien Covid-19, yaitu Andi, Budi, Citra dan Dani. Perawat Andi menjaga pasien setiap 2 hari sekali, Perawat Budi menjaga pasien setiap 3 hari sekali, Perawat Citra menjaga pasien setiap 4 hari sekali, dan Perawat Dani menjaga pasien setiap 5 hari sekali. Karena pada hari senin pasien Covid-19 penuh, pada hari tersebut keempat perawat pertama kali menjaga pasien Covid-19 bersama-sama. Ketika mereka akan menjaga bersama-sama untuk ketiga kalinya, perawat Andi tidak bertugas. Mereka berempat dapat bertugas kembali bersama-sama untuk ketiga kalinya pada hari ....
    Jawaban: Rabu

36. Halaman 30, Soal 2 (sama dengan no.21)
    Diberikan dua buah bilangan berikut:
    $m=202120212021\times 2020202020202020$
    $n=202020202020\times 2021202120212021$
    Nilai dari $2021m-n$ adalah ....
    Jawaban: 1

37. Halaman 30, Soal 3 (sama dengan no.22)
    Misalkan k bilangan bulat positif. Jumlah semua nilai k yang membuat $\frac{6k^2-9k+2}{\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}}$ bernilai bilangan bulat positif adalah ... (catatan: soal ini tidak lengkap di teks, tetapi dari halaman 20 seharusnya $\frac{9k^2-9k+2}{6k^2-28k+16}$)

38. Halaman 31, Soal 8
    Diketahui suatu data terdiri dari 10 bilangan asli yang diurutkan dari terkecil hingga terbesar. Median dan rata-rata dari data tersebut masing-masing adalah 10 dan 12. Modus dari data tersebut adalah 10, sebanyak 3 data. Data keenam hingga data terbesar membentuk barisan aritmatika dengan beda sebesar data pertama. Data kedua hingga data keempat adalah bilangan berurutan yang lebih besar dari data pertama. Bila data keempat adalah bilangan modus, hasil kali antara data ketiga dan data kedelapan adalah ….
    Jawaban: 144

39. Halaman 31, Soal 9 (sama dengan no.23)
    Terdapat “5 sekawan” yakni A, B, C, D, dan E saling terpisah. Pada suatu saat A dan B bertemu rata-rata umur mereka adalah 15 tahun. Beberapa tahun kemudian A, B, C bertemu, umur C adalah 10 tahun dan rata-rata umur A, B, C adalah 20 tahun. Beberapa tahun kemudian A, B, C, dan D bertemu, umur D adalah 18 tahun dan rata-rata umur mereka berempat saat itu adalah 24 tahun. Beberapa tahun kemudian, A, B, C, D, dan E bertemu pada saat D berumur 23 tahun serta rata-rata umur mereka berlima adalah 30 tahun. Umur E pada saat itu adalah … tahun.
    Jawaban: 34

40. Halaman 31, Soal 10 (sama dengan no.24)
    Pada suatu kompetisi rahasia, 12 orang siswa harus membentuk tiga tim berbeda. Banyaknya anggota setiap tim ditetapkan sesuai dengan akar bilangan asli dari persamaan polinomial berikut:

    $$x^3-12x^2+47x-60=0.$$

    Banyak cara berbeda untuk membentuk tim tersebut adalah ...
    Jawaban: 3960

41. Halaman 32, Soal (tanpa nomor)
    Bilangan fn didefinisikan sebagai berikut.
    $f_1=2,f_2=5,$
    $f_n=\frac{1}{2}(f_{n-1}+f_{n-2})$ untuk $n\ge 3$.
    Tentukan nilai dari $f_{2023}+2f_{2024}$
    Jika $g(x)=\frac{x}{1-2x}-\frac{x}{2}$, tentukan semua nilai dari $\frac{g(-x)-g(x)}{g(23)}$ untuk semua x ∈ R dan x ≠ 0.

42. Halaman 34, Soal
    Perhatikan pecahan berikut.

    $$\frac{({10}^3-1)({11}^3-1)({12}^3-1)\dots ({2023}^3-1)}{({10}^3+1)({11}^3+1)({12}^3+1)\dots ({2023}^3+1)}$$

    Jika pecahan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{p(q+1)}{(p+1)q}$ dengan p dan q bilangan bulat, maka tentukan nilai dari p dan q.

43. Halaman 37, Soal 1
    Sebuah bilangan prima disebut “prima kanan” jika dapat diperoleh bilangan prima dengan menghilangkan setidaknya satu angka dari sebelah kiri.
    Sebagai contoh, 223 adalah “prima kanan” karena setelah menghilangkan angka 2 paling kiri, angka yang tersisa adalah 23 yang merupakan bilangan prima. Contoh lainnya adalah 127. Dengan menghilangkan 2 angka paling kiri, angka yang tersisa adalah angka 7 yang merupakan bilangan prima.
    Banyaknya bilangan prima antara 10 dan 200 yang merupakan “prima kanan” adalah …

44. Halaman 37, Soal 2
    Jika

    $$M=\frac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots +\frac{1}{2023}}{1\times 2023+\frac{1}{3}\times 2021+\frac{1}{5}\times 2019+\cdots +\frac{1}{2023\times 1}}$$

    maka hasil penjumlahan semua faktor prima dari M adalah ….

45. Halaman 37, Soal 3
    Misalkan a, b, c, dan d adalah bilangan-bilangan bulat positif yang berbeda sehingga
    a + b, a + c, dan a + d merupakan bilangan ganjil sekaligus bilangan kuadrat.
    Nilai a + b + c + d terkecil yang mungkin adalah ….

46. Halaman 37, Soal 4
    Banyak bilangan bulat tujuh digit yang disusun dari angka 0 atau 1 saja serta habis dibagi 6 adalah ….

47. Halaman 38, Soal 5
    Diketahui a, b, c, d, e merupakan bilangan bulat positif dengan a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e dan
    a + b + c + d + e = a × b × c × d × e.
    Nilai terbesar yang mungkin untuk e adalah ....

48. Halaman 38, Soal 6
    Jika (x, y) adalah pasangan bilangan bulat positif yang memenuhi
    $x^2+2023x+2023=y^2$ dengan x > y.
    Banyaknya (x, y) yang mungkin adalah ....

49. Halaman 38, Soal 7
    Misalkan populasi ikan A semula adalah x dan populasi ikan B semula adalah y. Sekarang, populasi ikan A meningkat sebanyak 28% dan populasi ikan B berkurang sebanyak 28%, sehingga rasio antara populasi ikan A dengan populasi ikan B menjadi $\frac{y}{x}$. Persentase perubahan populasi keseluruhan ikan sekarang dibandingkan dengan total populasi ikan semula adalah ....

50. Halaman 38, Soal 8
    Diketahui

    $$x^2+\sqrt{xy}+y^2=168$$$$x-\sqrt{xy}+y=10$$

    Jumlah semua nilai $x+\sqrt{xy}+y$ yang mungkin adalah ....

51. Halaman 38, Soal 9
    Jika $\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ dengan $n!=1\times 2\times \cdots \times n$ dan $0!=1$, maka nilai deret berikut adalah ...

    $$\frac{1}{1}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{0}\right)+\frac{1}{2}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{1}\right)+\frac{1}{3}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{2}\right)+\frac{1}{4}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{3}\right)+\cdots +\frac{1}{21}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{20}\right)$$

52. Halaman 38, Soal 10
    Perhatikan kedua persamaan berikut.

    $$A=\frac{(p^2+q^2+r^2{)}^2}{p^2{q}^2+q^2{r}^2+r^2{p}^2}$$$$B=\frac{q^2-pr}{p^2+q^2+r^2}$$

    Jika $p+q+r=0$, nilai $A^2-4B$ adalah ....

53. Halaman 43, Soal 1
    Diketahui angka satuan dari $p^x$ adalah 9 dan angka satuan dari $q^y$ adalah 8. Jika $p$ bilangan ganjil, $q$ bilangan genap, serta $x$ dan $y$ bilangan bulat, maka banyaknya angka satuan yang mungkin dari $x+y$ adalah ....

54. Halaman 43, Soal 2
    Bilangan bulat terbesar n dengan $200<n<257$ dan $12n$ merupakan bilangan kuadrat adalah ....

55. Halaman 43, Soal 3
    Bilangan bulat a, b, dan c memenuhi

    $$a^3-b^3-c^3=3abc,$$$$a^2=6(b+c),$$

    dan $a^2+b^2+c^2\mathrm{\ne }bc-a(b+c)$.
    Hasil penjumlahan semua faktor positif dari nilai a terbesar yang mungkin adalah ....

56. Halaman 43, Soal 4
    Didefinisikan $f(n)$ sebagai jumlah semua digit pada bilangan bulat $n$. Banyaknya bilangan bulat $n$ dengan $100\le n\le 999$ dan $9\le f(n)\le 12$ adalah ....

57. Halaman 43, Soal 5
    Bilangan bulat a memenuhi persamaan berikut.

    $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{13}=\frac{a}{1\times 2\times 3\times \cdots \times 13}$$

    Sisa pembagian a oleh 7 adalah ....

58. Halaman 45, Soal 10
    Diketahui fungsi-fungsi
    $F_1(x),F_2(x),F_3(x),\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},F_{1000}(x)$
    dengan $F_1(x)=x$ dan untuk $n\ge 1$
    $F_{n+1}(x)=\frac{1}{1-F_n(x)}$.
    Jika K adalah bilangan genap tiga digit dan $F_K(K)=K$, maka banyaknya semua nilai K yang mungkin adalah ....

59. Halaman 49, Soal
    Misalkan $N(a,b,c)$ menyatakan banyaknya kelipatan $a$ yang lebih besar dari $b$ dan kurang dari $c$. Sebagai contoh, $N(3,5,10)=2$ karena terdapat dua bilangan antara 5 dan 10 yang merupakan kelipatan 3. Nilai dari $N(6^3,6^4,6^6)$ adalah ....
    A. 216 B. 215 C. 209 D. 208

60. Halaman 50, Soal
    Gina bermain angka dengan mengisikan bilangan bulat 1, 2, …, 9 pada tabel $3\times 3$. Sehingga, hasil kali ketiga bilangan pada setiap baris adalah bilangan yang terdapat di kanan tabel dan hasil kali ketiga bilangan pada setiap kolom adalah bilangan yang terdapat di bawah tabel, seperti terlihat sebagai berikut.
    [Tabel]
    Nilai N adalah ....
    A. 1 B. 3 C. 4 D. 6

61. Halaman 51, Soal
    Bilangan-bilangan 4, 5, 6, 9, 11, 12, 18, 20, dan 24 akan diletakkan pada 4 lingkaran dan 5 persegi yang disusun dalam satu baris. Setiap bilangan harus digunakan tepat satu kali dan diletakkan di tempat yang berbeda. Selain itu, bilangan pada setiap lingkaran harus merupakan hasil penjumlahan dari dua bilangan pada persegi yang berada tepat di sebelah kiri dan kanannya. Jika x adalah bilangan pada persegi paling kiri dan y adalah bilangan pada persegi paling kanan, maka nilai terbesar yang mungkin dari x + y adalah ....
    A. 32 B. 38 C. 42 D. 44

62. Halaman 52, Soal
    Banyaknya faktor dari 2024 yang lebih besar dari $\sqrt{2024}$ adalah ....
    A. 4 B. 8 C. 12 D. 16

63. Halaman 53, Soal
    Diketahui x merupakan bilangan bulat positif kelipatan 2 yang kurang dari 50, y merupakan bilangan bulat positif kelipatan 3, dan $y-x=10$. Jika A adalah himpunan semua faktor prima dari x, B adalah himpunan semua faktor prima dari y, dan jumlah semua anggota dari $A\cup B$ adalah 10, maka nilai dari $x+y$ adalah ....
    A. 14 B. 26 C. 38 D. 50

64. Halaman 54, Soal
    Suatu bilangan bulat positif n disebut bilangan JUMPAT jika jumlah n bilangan bulat positif pertama dapat dinyatakan sebagai penjumlahan empat bilangan bulat positif berurutan. Banyaknya bilangan JUMPAT yang kurang dari 2024 adalah ....
    A. 252 B. 253 C. 504 D. 505

65. Halaman 55, Soal
    Diketahui A = {0,1,2, …,9} dan rstu adalah bilangan empat digit dengan r, s, t, u adalah anggota A yang berbeda. Jika $rstu+stu=wxyz$, dengan r, s, t, u, v, w, x, y, z adalah anggota A yang berbeda, maka anggota A yang tidak digunakan dalam operasi penjumlahan tersebut adalah ....
    A. 2 B. 3 C. 5 D. 8

66. Halaman 58, Soal 10
    Diketahui a, b, dan c adalah bilangan ratusan yang satuannya sama dengan ratusannya. Jika $b=2a+1$ dan $c=2b+1$, maka banyaknya kemungkinan tripel (a, b, c) yang berbeda adalah ....
    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

67. Halaman 71, Soal 23
    Jumlah semua bilangan ratusan yang ketiga digitnya berbeda dan tidak memuat 0 adalah ....
    A. 359.640 B. 279.720 C. 277.200 D. 252.000

68. Halaman 75, Soal 1
    Misalkan p dan q adalah bilangan asli yang memenuhi persamaan
    $p(p-70)+q(q-70)+2pq=2024$.
    Banyaknya pasangan (p, q) yang mungkin adalah ....

69. Halaman 75, Soal 2
    Misalkan n adalah bilangan bulat positif tiga digit. Didefinisikan f(n) adalah jumlah n dan semua digit dari n. Sebagai contoh, f(231) = 231 + 2 + 3 + 1 = 237. Jika a dan b juga bilangan tiga digit sehingga f(a) = 204 dan f(b) = 535, maka nilai terkecil yang mungkin dari a + b adalah ....

70. Halaman 75, Soal 3
    Bilangan kaset adalah bilangan bulat positif yang seluruh digitnya prima dan hasil perkalian seluruh digitnya sama dengan 10 kali hasil penjumlahan seluruh digitnya. Banyaknya bilangan kaset adalah ....

71. Halaman 75, Soal 4
    Banyaknya bilangan bulat positif yang kurang dari 101 dan bisa dinyatakan sebagai hasil penjumlahan setidaknya 4 bilangan bulat positif berurutan adalah ....

72. Halaman 75, Soal 5
    Diketahui persamaan

    $$\frac{1}{x-y-z}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$$

    Banyaknya triple (x, y, z) yang memenuhi persamaan di atas dimana x, y, dan z bilangan prima atau negatif bilangan prima adalah ....

73. Halaman 76, Soal 6
    Diberikan dua fungsi

    $$f(x)=x^3-p{x}^2+189x-q$$$$g(x)=x^3-r{x}^2+144x-s\mathrm{.}$$

    Akar f(x) adalah a, a, dan b, sedangkan akar g(x) adalah a, b, dan b.
    Jika a, b, p, q, r, dan s bilangan bulat positif, maka nilai
    $(p+q)-(r+s)=\dots$

74. Halaman 76, Soal 7
    Misalkan

    $$k=\frac{pq+2024}{p+2024}+\frac{qr+2024}{(q+1)2024}+\frac{rs+2024}{r+2024}+\frac{sp+2024}{(s+1)2024}$$

    dengan p, q, r, s bilangan real positif dan $pqrs={2024}^2$. Jika x adalah nilai minimum dari k, maka nilai dari 1000x adalah ....

75. Halaman 76, Soal 8
    Pada fungsi f(x) berlaku persamaan

    $$f(2024)=a,\text{ maka banyaknya faktor prima }a\text{ adalah }\dots$$$$f(2)=a,\text{ maka banyaknya faktor prima }a\text{ adalah }2$$

    (Soal ini tidak lengkap, hanya seperti itu)

76. Halaman 81, Soal 20
    Di dalam kotak terdapat 100 buah sapu tangan merah, 80 buah sapu tangan hijau, 60 buah sapu tangan biru, dan 40 buah sapu tangan hitam. Seorang anak mengambil satu buah sapu tangan pada setiap pengambilan dengan mata tertutup. Banyaknya pengambilan minimum yang diperlukan untuk menjamin dia memperoleh 13 pasang sapu tangan (sepasang sapu tangan terdiri dari 2 buah sapu tangan dengan warna yang sama) adalah ....

77. Halaman 83, Soal 1 (OSN 2024)
    Izza menulis suatu bilangan bulat positif. Bilangan tersebut memberikan sisa 181 jika dibagi oleh 2024. Tentukan sisa pembagian bilangan tersebut oleh 88.

78. Halaman 83, Soal 2 (OSN 2024)
    Misalkan $x_1,x_2,x_3,\dots ,x_{22}$ adalah barisan aritmetika yang hasil penjumlahan dari semua suku-sukunya adalah 2024. Diketahui $A=x_1+x_3+\cdots +x_{21}$ dan $B=x_2+x_4+\cdots +x_{22}$ dengan $A:B=11:12$. Tentukan selisih nilai suku terbesar dan suku keempat dari barisan aritmetika tersebut.

79. Halaman 109, Soal 6 (OSN 2024)
    Dalam babak bonus suatu kuis, seorang pemain diminta menekan tombol yang akan menampilkan secara acak dua bilangan bulat positif yang kurang dari 100 di layar. Ia akan mendapatkan hadiah utama jika jumlah dan hasil kali kedua bilangan yang tampil adalah bilangan kuadrat. Tentukan banyaknya kemungkinan ia mendapatkan hadiah utama.

80. Halaman 111, Soal 7 (OSN 2024)
    Didefinisikan bilangan Salas adalah bilangan tiga angka yang dapat dinyatakan dalam bentuk $\pm abc\times {10}^n$ dengan $n\in \{-2,-1,0\}$.
    Jika $f(x)=2x^3-x^2-6x+3$, maka tentukan semua bilangan Salas x yang memenuhi $-0,02<f(x)<-0,01$.

Posted by : BuSet Maret 09, 2026 Tags : Matematika , OSN , SMP

Subscribe by Email

Follow Updates Articles from This Blog via Email