Materi Aljabar untuk OSN Matematika SMP

📐 Materi Aljabar untuk OSN Matematika SMP

1. Himpunan

Pengertian
Himpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikan dengan jelas. Objek dalam himpunan disebut anggota atau elemen.

Notasi

Himpunan ditulis dengan huruf kapital, misal $A, B, C$ .
Anggota ditulis dalam kurung kurawal, misal $A = {1, 2, 3}$ .
Simbol keanggotaan: $x \in A$ (x anggota A), $x \notin A$ (x bukan anggota A).
Himpunan kosong: ${}$ atau $\emptyset$ .
Himpunan semesta: $S$ atau $U$ .

Operasi Himpunan

Gabungan (Union): $A \cup B = {x ∣ x \in A atau x \in B}$
Irisan (Intersection): $A \cap B = {x ∣ x \in A dan x \in B}$
Selisih: $A - B = {x ∣ x \in A dan x \notin B}$
Komplemen: $A^{c} = {x ∣ x \notin A}$ (terhadap semesta)
Diagram Venn digunakan untuk memvisualisasikan hubungan antar himpunan.

Sifat-sifat

Komutatif: $A \cup B = B \cup A$ , $A \cap B = B \cap A$
Asosiatif: $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ , $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
Distributif: $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ dan sebaliknya
Hukum De Morgan: $(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}$ , $(A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$

Contoh Sederhana: Diketahui $S = {1, 2, 3, 4, 5}$ , $A = {1, 2, 3}$ , $B = {2, 3, 4}$ . Tentukan $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A - B$ , dan $A^{c}$ .
Penyelesaian:
$A \cup B = {1, 2, 3, 4}$
$A \cap B = {2, 3}$
$A - B = {1}$
$A^{c} = {4, 5}$

2. Relasi dan Fungsi

a. Pengertian Relasi & Fungsi

Relasi adalah hubungan antara dua himpunan. Relasi dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ adalah himpunan pasangan berurutan $(x, y)$ dengan $x \in A$ dan $y \in B$ .

Fungsi adalah relasi khusus di mana setiap anggota $A$ (domain) dipasangkan tepat satu dengan anggota $B$ (kodomain).

Domain: himpunan asal
Kodomain: himpunan tujuan
Range: himpunan hasil (subset kodomain)

Grafik Fungsi
Fungsi dapat digambarkan dalam koordinat Kartesius. Untuk fungsi $y = f (x)$ , setiap pasangan $(x, f (x))$ adalah titik pada grafik.

Contoh: $f (x) = 2 x + 1$ dengan domain bilangan real. Grafiknya garis lurus.

b. Operasi Fungsi dan Jenis-jenis Fungsi

Operasi Aljabar pada Fungsi
Misal $f$ dan $g$ fungsi dengan domain yang sesuai:

Penjumlahan: $(f + g) (x) = f (x) + g (x)$
Pengurangan: $(f - g) (x) = f (x) - g (x)$
Perkalian: $(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x)$
Pembagian: $(\frac{f}{g}) (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ , dengan $g (x) \neq 0$
Komposisi: $(f \circ g) (x) = f (g (x))$ (domain harus memenuhi syarat)

Fungsi Suku Banyak (Polinomial)
Bentuk umum:

f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}, a_{n} \neq 0

Derajat polinomial adalah $n$ . Operasi polinomial mengikuti aturan aljabar biasa.

Fungsi Rasional
Bentuk $\frac{P (x)}{Q (x)}$ dengan $P, Q$ polinomial, $Q (x) \neq 0$ .
Domain: semua $x$ real kecuali pembuat nol penyebut.
Asimtot tegak di $x$ yang membuat penyebut nol, asimtot datar/miring jika derajat pembilang dan penyebut tertentu.

Fungsi Akar
Bentuk $\sqrt[n]{f (x)}$ atau $f (x)^{1 / n}$ . Domain harus memenuhi syarat agar di dalam akar bernilai tak negatif (untuk akar genap) atau semua real (untuk akar ganjil).
Sifat: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a b}$ , $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ (dengan syarat).

Contoh Soal Sederhana: Diketahui $f (x) = x^{2} - 1$ dan $g (x) = \sqrt{x}$ . Tentukan $(f \circ g) (x)$ dan domainnya.
Penyelesaian: $(f \circ g) (x) = f (g (x)) = (\sqrt{x})^{2} - 1 = x - 1$ . Domain $g$ adalah $x \geq 0$ , jadi domain komposisi juga $x \geq 0$ .

3. Perbandingan Senilai dan Berbalik Nilai

Perbandingan Senilai
Dua besaran $x$ dan $y$ dikatakan senilai jika $\frac{y}{x} = k$ (konstan). Artinya, jika $x$ bertambah, $y$ bertambah dengan perbandingan tetap.
Contoh: jarak dan waktu dengan kecepatan tetap.

Perbandingan Berbalik Nilai
Dua besaran $x$ dan $y$ berbalik nilai jika $x \cdot y = k$ (konstan). Jika $x$ bertambah, $y$ berkurang.
Contoh: kecepatan dan waktu untuk jarak tetap.

Contoh: Jika 3 pekerja menyelesaikan pekerjaan dalam 8 hari, berapa hari yang dibutuhkan 4 pekerja? (asumsi pekerjaan sama)
Penyelesaian: Ini perbandingan berbalik nilai. $3 \times 8 = 24$ , maka $4 \times hari = 24$ → hari = 6.

4. Operasi Aljabar Melibatkan Bilangan Rasional, Berpangkat, dan Bentuk Akar

Bilangan Rasional
Operasi pecahan: penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian (sudah dibahas di materi bilangan).

Bilangan Berpangkat
Sifat-sifat eksponen (sudah dibahas). Penting untuk menyederhanakan bentuk seperti $(a^{m} b^{n})^{p}$ .

Bentuk Akar
Menyederhanakan akar: $\sqrt{a^{2} b} = a \sqrt{b}$ untuk $a \geq 0$ .
Merasionalkan penyebut: $\frac{c}{\sqrt{a}} = \frac{c \sqrt{a}}{a}$ , $\frac{c}{a + \sqrt{b}} = \frac{c (a - \sqrt{b})}{a^{2} - b}$ .

Contoh: Sederhanakan $\frac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ .
Penyelesaian: Kalikan sekawan: $\frac{3 (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{5 - 2} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$ .

5. Persamaan Linear dan Kuadrat

a. Persamaan Linear Satu Peubah

Bentuk: $a x + b = 0$ dengan $a \neq 0$ . Penyelesaian: $x = - \frac{b}{a}$ .

b. Persamaan Linear Dua Peubah

Bentuk: $a x + b y = c$ . Grafiknya garis lurus. Solusi berupa pasangan $(x, y)$ tak hingga.

c. Persamaan Kuadrat Satu Peubah

Bentuk: $a x^{2} + b x + c = 0$ dengan $a \neq 0$ .

Rumus kuadrat: $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
Diskriminan $D = b^{2} - 4 a c$ menentukan jenis akar.
Jumlah dan hasil kali akar: $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ (Vieta).

d. Persamaan Kuadrat Dua Peubah

Contoh: lingkaran $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ , parabola $y = a x^{2} + b x + c$ , hiperbola, dll. Biasanya digunakan dalam sistem persamaan.

e. Sistem Persamaan Linear Dua Peubah

Dua persamaan linear:

{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

Penyelesaian dengan substitusi, eliminasi, atau grafik.

Jika $\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}$ , solusi tunggal.
Jika $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}$ , tidak ada solusi (sejajar).
Jika perbandingan semua sama, tak hingga solusi (berimpit).

Contoh Soal Sederhana: Tentukan penyelesaian dari $2 x - y = 5$ dan $x + y = 1$ .
Penyelesaian: Eliminasi: jumlahkan → $3 x = 6$ → $x = 2$ , substitusi → $2 + y = 1$ → $y = - 1$ .

6. Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat

a. Pertidaksamaan Linear Satu Peubah

Bentuk: $a x + b > 0$ (atau $\geq, <, \leq$ ). Penyelesaian dengan manipulasi aljabar, perhatikan tanda saat mengalikan dengan bilangan negatif.

b. Pertidaksamaan Linear Dua Peubah

Bentuk: $a x + b y \leq c$ . Daerah penyelesaian adalah setengah bidang, digambar dengan garis putus-putus jika tanpa sama dengan.

c. Pertidaksamaan Kuadrat Satu Peubah

Bentuk: $a x^{2} + b x + c > 0$ (atau $\geq, <, \leq$ ).
Langkah:

Cari akar-akar persamaan kuadrat.
Buat garis bilangan, uji tanda di setiap interval.
Tentukan interval yang memenuhi.

d. Pertidaksamaan Kuadrat Dua Peubah

Misal $y > a x^{2} + b x + c$ adalah daerah di atas parabola (jika $a > 0$ ) atau di bawah.

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari $x^{2} - 5 x + 6 \leq 0$ .
Penyelesaian: Akar $x = 2$ dan $x = 3$ . Uji: interval $x < 2$ positif, $2 < x < 3$ negatif, $x > 3$ positif. Jadi $2 \leq x \leq 3$ .

7. Pola Bilangan, Barisan, dan Deret

Pola Bilangan
Urutan bilangan dengan aturan tertentu. Contoh: 1, 3, 5, 7, ... (bilangan ganjil).

Barisan Aritmetika
Setiap suku diperoleh dengan menambahkan beda tetap $b$ .
Rumus suku ke- $n$ : $U_{n} = a + (n - 1) b$
Jumlah $n$ suku pertama: $S_{n} = \frac{n}{2} (2 a + (n - 1) b)$ atau $\frac{n}{2} (a + U_{n})$ .

Barisan Geometri
Setiap suku diperoleh dengan mengalikan rasio tetap $r$ .
Rumus suku ke- $n$ : $U_{n} = a r^{n - 1}$
Jumlah $n$ suku pertama: $S_{n} = \frac{a (r^{n} - 1)}{r - 1}$ untuk $r \neq 1$ .

Barisan Bertingkat
Misal barisan dengan beda tidak tetap tetapi beda dari beda tetap (derajat 2). Rumus umum: $U_{n} = a n^{2} + b n + c$ .

Deret Tak Hingga
Untuk geometri dengan $∣ r ∣ < 1$ , jumlah tak hingga: $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ .

Contoh: Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-3 = 10 dan suku ke-7 = 22. Tentukan suku pertama dan beda.
Penyelesaian: $a + 2 b = 10$ , $a + 6 b = 22$ . Kurangi: $4 b = 12$ → $b = 3$ , maka $a = 4$ .

8. Materi Lanjutan (untuk OSN)

Beberapa konsep yang sering muncul di OSN dan perlu dikuasai:

Teorema Vieta untuk polinomial derajat tinggi.
Identitas Aljabar: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ , $(a + b)^{3}$ , $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , dll.
Manipulasi bentuk simetris: $x + y$ , $x y$ , $x^{2} + y^{2}$ , $x^{3} + y^{3}$ , dan hubungannya.
Persamaan fungsional: Mencari fungsi yang memenuhi persamaan tertentu.
Barisan rekursif: Menentukan rumus tertutup atau nilai tertentu.
Pertidaksamaan dengan akar: Kuadratkan dengan hati-hati, perhatikan domain.
Optimasi: Menggunakan AM-GM, fungsi kuadrat, atau turunan sederhana.
Sistem persamaan nonlinear: Substitusi, eliminasi, atau manipulasi aljabar.

🧠 Tips Menghadapi Soal OSN Aljabar

Kuasai identitas dasar: $(a + b)^{2}$ , $(a + b)^{3}$ , $a^{3} + b^{3}$ , $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b$ , dll.
Latih manipulasi bentuk simetris: Seringkali soal memberikan $x + y$ dan $x y$ , lalu meminta $x^{3} + y^{3}$ atau $x^{4} + y^{4}$ .
Pahami teorema Vieta untuk polinomial derajat berapa pun.
Berlatih persamaan fungsional: Biasanya dengan substitusi nilai tertentu atau memisalkan bentuk fungsi.
Perhatikan domain pada fungsi akar dan rasional.
Gunakan substitusi untuk menyederhanakan sistem persamaan.
Terapkan ketaksamaan klasik seperti AM-GM, Cauchy-Schwarz, atau Jensen jika diperlukan.
Eksplorasi pola pada barisan dan deret, cari rumus umum.

Soal OSN Matematika Aljabar

Posted by : BuSet Maret 09, 2026 Tags : Matematika , OSN , SMP

Materi Aljabar untuk OSN Matematika SMP