Materi Geometri untuk OSN Matematika SMP

 

📐 Materi Geometri untuk OSN Matematika SMP

1. Garis dan Sudut

a. Kedudukan Dua Garis

• Sejajar: Dua garis yang tidak berpotongan meskipun diperpanjang. Jarak antar garis selalu sama.

• Berpotongan: Dua garis yang bertemu di satu titik.

• Berimpit: Dua garis yang terletak pada satu garis lurus (semua titik sama).

• Bersilangan: Pada bangun ruang, dua garis yang tidak sejajar dan tidak berpotongan (berada di bidang berbeda).

b. Jarak Dua Titik dan Jarak Titik ke Garis

• Jarak dua titik $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$ dalam koordinat Kartesius:

  $$AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

• Jarak titik ke garis: Jarak tegak lurus dari titik ke garis. Untuk garis $ax+by+c=0$ dan titik $P(x_0,y_0)$:

  $$d=\frac{\mathrm{\mid }a{x}_0+b{y}_0+c\mathrm{\mid }}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

c. Sifat-sifat Sudut

• Sudut siku-siku: ${90}^{\circ }$

• Sudut lurus: ${180}^{\circ }$

• Sudut lancip: $<{90}^{\circ }$

• Sudut tumpul: $>{90}^{\circ }$

• Hubungan antar sudut:

  • Bertolak belakang: sama besar

  • Sehadap: sama besar (pada garis sejajar)

  • Berseberangan dalam/ luar: sama besar

  • Sepihak dalam/ luar: jumlah ${180}^{\circ }$

Contoh: Diketahui dua garis sejajar dipotong oleh garis transversal. Jika salah satu sudut sehadap adalah ${70}^{\circ }$, tentukan sudut lainnya.

---

2. Bangun Datar

a. Sifat-sifat Bangun Datar

• Segitiga: jumlah sudut ${180}^{\circ }$, jenis berdasarkan sisi (sama sisi, sama kaki, sembarang) dan sudut (lancip, siku, tumpul).

• Segiempat: persegi, persegi panjang, jajar genjang, belah ketupat, layang-layang, trapesium. Masing-masing memiliki sifat khusus pada sisi, sudut, dan diagonal.

• Lingkaran: jari-jari, diameter, tali busur, busur, juring, tembereng, apotema.

b. Keliling dan Luas Bangun Datar

Bangun	Keliling	Luas
Persegi	$4s$	$s^2$
Persegi panjang	$2(p+l)$	$p\times l$
Segitiga	$a+b+c$	$\frac{1}{2}\times a\times t$
Jajar genjang	$2(a+b)$	$a\times t$
Belah ketupat	$4s$	$\frac{1}{2}\times d_1\times d_2$
Layang-layang	$2(a+b)$	$\frac{1}{2}\times d_1\times d_2$
Trapesium	$a+b+c+d$	$\frac{1}{2}\times (a+b)\times t$
Lingkaran	$2\pi r$ atau $\pi d$	$\pi r^2$

c. Kesebangunan dan Kekongruenan

• Kongruen: sama bentuk dan ukuran (sisi dan sudut bersesuaian sama).

• Sebangun: sama bentuk, ukuran proporsional (sisi bersesuaian memiliki perbandingan sama, sudut bersesuaian sama).

• Syarat dua segitiga sebangun:

  1. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar (sd-sd-sd)

  2. Sisi-sisi yang bersesuaian sebanding (s-s-s)

  3. Satu sudut sama dan dua sisi yang mengapitnya sebanding (s-sd-s)

• Perbandingan luas pada bangun sebangun: Jika perbandingan sisi $k$, maka perbandingan luas $k^2$.

Contoh: Segitiga ABC sebangun dengan segitiga DEF. Jika AB = 6 cm, DE = 9 cm, dan luas ABC = 24 cm², tentukan luas DEF.

---

3. Teorema Pythagoras

Pada segitiga siku-siku dengan sisi miring $c$ dan sisi siku-siku $a,b$:

$$c^2=a^2+b^2$$

Kebalikannya: jika $c^2=a^2+b^2$, maka segitiga tersebut siku-siku.

Tripel Pythagoras: tiga bilangan asli yang memenuhi $a^2+b^2=c^2$, misal (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17).

Contoh: Tentukan panjang diagonal persegi panjang dengan panjang 8 cm dan lebar 6 cm.

---

4. Transformasi

a. Refleksi (Pencerminan)

• Terhadap sumbu x: $(x,y)\to (x,-y)$

• Terhadap sumbu y: $(x,y)\to (-x,y)$

• Terhadap garis $y=x$: $(x,y)\to (y,x)$

• Terhadap garis $y=-x$: $(x,y)\to (-y,-x)$

• Terhadap titik asal $(0,0)$: $(x,y)\to (-x,-y)$

b. Translasi (Pergeseran)

• $(x,y)\to (x+a,y+b)$

c. Rotasi (Perputaran)

• Dengan pusat $O(0,0)$:

  • ${90}^{\circ }$: $(x,y)\to (-y,x)$

  • ${180}^{\circ }$: $(x,y)\to (-x,-y)$

  • ${270}^{\circ }$: $(x,y)\to (y,-x)$

• Dengan pusat $(a,b)$: gunakan rumus matriks atau translasi ke pusat.

d. Dilatasi (Perbesaran/Perkecilan)

• Pusat $O(0,0)$ dengan faktor skala $k$: $(x,y)\to (kx,ky)$

• Pusat $(a,b)$: $(x,y)\to (a+k(x-a),b+k(y-b))$

Contoh: Tentukan bayangan titik (2, -3) jika dirotasi ${90}^{\circ }$ searah jarum jam dengan pusat O.

---

5. Sistem Koordinat Kartesius

• Titik dinyatakan sebagai $(x,y)$ dengan $x$ absis, $y$ ordinat.

• Garis lurus: persamaan umum $y=mx+c$ atau $ax+by+c=0$.

• Jarak dua titik (sudah dibahas).

• Titik tengah antara $A(x_1,y_1)$ dan $B(x_2,y_2)$:

  $$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$$

• Gradien garis melalui $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$:

  $$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

• Hubungan gradien:

  • Sejajar: $m_1=m_2$

  • Tegak lurus: $m_1\cdot m_2=-1$

---

6. Luas Permukaan dan Volume Bangun Ruang

Bangun Ruang Sisi Datar

Bangun	Luas Permukaan	Volume
Kubus	$6s^2$	$s^3$
Balok	$2(pl+pt+lt)$	$p\times l\times t$
Prisma	$2\times \text{luas alas}+\text{keliling alas}\times t$	$\text{luas alas}\times t$
Limas	$\text{luas alas}+\text{jumlah luas sisi tegak}$	$\frac{1}{3}\times \text{luas alas}\times t$

Bangun Ruang Sisi Lengkung

Bangun	Luas Permukaan	Volume
Tabung	$2\pi r(r+t)$	$\pi r^{2}t$
Kerucut	$\pi r(r+s)$ dengan $s=\sqrt{r^2+t^2}$	$\frac{1}{3}\pi r^{2}t$
Bola	$4\pi r^2$	$\frac{4}{3}\pi r^3$

---

7. Materi Lanjutan (untuk OSN)

Beberapa konsep geometri yang sering muncul di OSN dan perlu dikuasai:

• Garis singgung lingkaran: Garis yang menyinggung lingkaran di satu titik, tegak lurus jari-jari di titik singgung.

• Lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga:

  • Pusat lingkaran dalam: perpotongan garis bagi sudut.

  • Pusat lingkaran luar: perpotongan garis sumbu sisi.

  • Jari-jari lingkaran dalam: $r=\frac{L}{s}$ dengan $s$ semiperimeter.

  • Jari-jari lingkaran luar: $R=\frac{abc}{4L}$.

• Teorema-teorema penting:

  • Teorema Thales: Sudut keliling yang menghadap diameter adalah ${90}^{\circ }$.

  • Teorema Ptolemy untuk segiempat tali busur.

  • Teorema Ceva dan Menelaus untuk segitiga.

  • Power of a point (kuasa titik terhadap lingkaran).

• Geometri koordinat untuk lingkaran dan parabola (seperti soal garis singgung parabola).

• Irisan bidang pada bangun ruang: Menentukan bentuk irisan, luas, atau volume potongan.

• Optimasi geometri: Mencari nilai minimum/maksimum luas atau volume dengan kendala tertentu

🧠 Tips Menghadapi Soal OSN Geometri

1. Gambar ulang soal jika perlu, lengkapi dengan informasi yang diketahui.

2. Manfaatkan teorema dan rumus baku seperti Pythagoras, kesebangunan, lingkaran dalam/luar.

3. Pada bangun ruang, pahami proyeksi dan irisan bidang.

4. Untuk soal koordinat, kuasai persamaan garis, jarak, dan gradien.

5. Sering muncul soal kombinasi antara geometri dan aljabar (misal parabola dan lingkaran).

6. Latih soal-soal bertipe mencari nilai minimum/maksimum dengan kendala geometri.

7. Jangan lupa satuan dan konversi jika diperlukan.

Soal OSN Geometri

Posted by : BuSet Maret 09, 2026 Tags : Matematika , OSN , SMP

Subscribe by Email

Follow Updates Articles from This Blog via Email