Materi OSN Matematika SMP Topik Bilangan

 

🧮 Materi Bilangan untuk OSN Matematika SMP

1. Operasi Bilangan Bulat dan Sifat-sifatnya

Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...). Memahami operasi dan sifatnya adalah fondasi utama.

• Operasi Dasar: Penjumlahan (+), Pengurangan (-), Perkalian (×), dan Pembagian (÷).

• Sifat-sifat Penting:

  • Komutatif: Hanya berlaku untuk penjumlahan dan perkalian. $a+b=b+a$ dan $a\times b=b\times a$.

  • Asosiatif: Hanya berlaku untuk penjumlahan dan perkalian. $(a+b)+c=a+(b+c)$ dan $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$.

  • Distributif: $a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)$.

  • Unsur Identitas: 0 adalah identitas penjumlahan ($a+0=a$), dan 1 adalah identitas perkalian ($a\times 1=a$).

Contoh Soal Sederhana: Hitunglah $(-12)+7-(-3)\times 2$.
Penyelesaian: Ingat urutan operasi (kali lebih dulu). $(-12)+7-(-6)=-5+6=1$.

2. Operasi Bilangan Rasional dan Sifat-sifatnya

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{p}{q}$ dengan $p$ dan $q$ bilangan bulat, dan $q\mathrm{\ne }0$. Ini mencakup pecahan biasa, pecahan campuran, dan desimal (yang berulang atau berhenti).

• Operasi Dasar:

  • Penjumlahan/Pengurangan: Samakan penyebutnya dengan mencari KPK dari penyebut-penyebut tersebut. Contoh: $\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{4}{6}+\frac{3}{6}=\frac{7}{6}$.

  • Perkalian: Kalikan pembilang dengan pembilang, penyebut dengan penyebut. Contoh: $\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

  • Pembagian: Ubah menjadi perkalian dengan kebalikan pecahan pembagi. Contoh: $\frac{2}{3}÷\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\times \frac{2}{1}=\frac{4}{3}$.

Contoh Soal Sederhana: Hitunglah $\frac{3}{4}÷1\frac{1}{2}+0,25$.
Penyelesaian: Ubah semua ke pecahan biasa. $\frac{3}{4}÷\frac{3}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\times \frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.

3. Bilangan Berpangkat (Eksponen) dan Sifat-sifatnya

Bilangan berpangkat adalah cara penulisan sederhana untuk perkalian berulang. $a^n=a\times a\times \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\times a$ (sebanyak n kali).

• Sifat-sifat Eksponen (untuk $a,b\mathrm{\ne }0$ dan $m,n$ bilangan bulat):

  • $a^m\times a^n=a^{m+n}$

  • $a^m÷a^n=a^{m-n}$

  • $(a^m{)}^n=a^{m\times n}$

  • $(a\times b{)}^n=a^n\times b^n$

  • $(\frac{a}{b}{)}^n=\frac{a^n}{b^n}$

  • $a^0=1$

  • $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Contoh Soal Sederhana: Sederhanakan $\frac{(2^3\times 3^2{)}^2}{2^4\times 3^3}$.
Penyelesaian: (2^3)^2 \times (3^2)^2}{2^4 \times 3^3} = \frac{2^6 \times 3^4}{2^4 \times 3^3} = 2^{6-4} \times 3^{4-3} = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12.

4. Bentuk Akar dan Sifat-sifatnya

Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional . Contohnya $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{5}$. Ingat, $\sqrt{4}=2$ bukan bentuk akar karena hasilnya rasional.

• Sifat-sifat Bentuk Akar (untuk $a,b\ge 0$) :

  • $\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{a\times b}$

  • $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$, dengan $b\mathrm{\ne }0$

  • $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ tidak bisa disederhanakan jika $a\mathrm{\ne }b$. Kecuali jika bentuk akarnya sama, misal $p\sqrt{c}+q\sqrt{c}=(p+q)\sqrt{c}$.

  • $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ tidak bisa disederhanakan jika $a\mathrm{\ne }b$. Kecuali jika bentuk akarnya sama, misal $p\sqrt{c}-q\sqrt{c}=(p-q)\sqrt{c}$ .

• Merasionalkan Penyebut: Proses menghilangkan bentuk akar pada penyebut pecahan. Caranya dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawan penyebut .

  • Untuk $\frac{a}{\sqrt{b}}$, kalikan dengan $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$.

  • Untuk $\frac{a}{b+\sqrt{c}}$, kalikan dengan $\frac{b-\sqrt{c}}{b-\sqrt{c}}$.

Contoh Soal Sederhana: Rasionalkan $\frac{4}{\sqrt{8}}$.
Penyelesaian: $\frac{4}{\sqrt{8}}\times \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{8}}=\frac{4\sqrt{8}}{8}=\frac{\sqrt{8}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$. (Karena $\sqrt{8}=\sqrt{4\times 2}=2\sqrt{2}$).

5. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

Kedua konsep ini sangat erat kaitannya dengan faktorisasi prima.

• Faktorisasi Prima: Menguraikan bilangan menjadi perkalian faktor-faktor prima .

• FPB (Faktor Persekutuan Terbesar): Bilangan terbesar yang dapat membagi habis semua bilangan yang dimaksud.

  • Cara Mencari: Kalikan faktor-faktor prima yang sama dari semua bilangan, dengan pangkat terkecil .

• KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil): Bilangan terkecil yang habis dibagi oleh semua bilangan yang dimaksud.

  • Cara Mencari: Kalikan semua faktor prima yang muncul, dengan pangkat terbesar .

Contoh Soal Sederhana: Tentukan FPB dan KPK dari 24 dan 36.
Penyelesaian:

• $24=2^3\times 3$

• $36=2^2\times 3^2$

• FPB: Ambil faktor sama dengan pangkat terkecil: $2^2\times 3=4\times 3=12$.

• KPK: Ambil semua faktor dengan pangkat terbesar: $2^3\times 3^2=8\times 9=72$.

6. Basis Bilangan

Basis bilangan adalah sistem bilangan yang menggunakan basis atau radiks tertentu. Yang paling umum adalah basis 10 (desimal). Namun, dalam OSN SMP, sering muncul basis lain seperti basis 2 (biner), basis 8 (oktal), dan basis 16 (heksadesimal) .

• Konsep Dasar: Suatu bilangan dalam basis $b$ dituliskan sebagai $(a_k{a}_{k-1}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}{a}_1{a}_0{)}_b$ dan nilainya adalah:
  $a_k\times b^k+a_{k-1}\times b^{k-1}+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+a_1\times b^1+a_0\times b^0$.
  Nilai setiap digit $a_i$ harus kurang dari $b$.

• Konversi Antar Basis:

  • Dari basis lain ke desimal: Gunakan rumus di atas.

  • Dari desimal ke basis lain: Lakukan pembagian berulang dengan basis tujuan, sisa pembagiannya adalah digit-digit dari kanan ke kiri.

Contoh Soal Sederhana: Konversikan bilangan biner $(1101{)}_2$ ke desimal.
Penyelesaian: $(1101{)}_2=1\times 2^3+1\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0=8+4+0+1=13$.

7. Sisa Pembagian

Konsep ini adalah jantung dari teori bilangan. Biasanya dinyatakan dalam bentuk: $a=b\times k+s$, di mana $a$ adalah bilangan yang dibagi, $b$ adalah pembagi, $k$ adalah hasil bagi (bilangan bulat), dan $s$ adalah sisa pembagian, dengan $0\le s<b$.

• Teorema Sisa:

  • Sisa oleh $(x-k)$: Jika suatu suku banyak $f(x)$ dibagi oleh $(x-k)$, maka sisanya adalah $f(k)$ . Konsep ini juga berlaku untuk bilangan bulat.

  • Keterbagian: Suatu bilangan habis dibagi oleh pembagi jika sisanya 0.

Contoh Soal Sederhana: Tentukan sisa pembagian 2024 oleh 7.
Penyelesaian: $7\times 289=2023$, sehingga $2024=7\times 289+1$. Jadi, sisanya adalah 1.

Kumpulan Soal OSN Bilangan 

Posted by : BuSet Maret 09, 2026 Tags : Matematika , Materi , OSN , SMP

Subscribe by Email

Follow Updates Articles from This Blog via Email