Matematika ; Merasionalkan Penyebut Berbentuk Akar (Irasional)

Media Pembelajaran Interaktif

Merasionalkan Penyebut Pecahan

A. Pengertian dan Tujuan

Merasionalkan penyebut adalah proses mengubah pecahan yang penyebutnya berbentuk akar menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional (tidak mengandung bentuk akar lagi), tanpa mengubah nilai pecahan tersebut.

Mengapa Harus Dirasionalkan?

Penyebut pecahan berbentuk rasional memudahkan operasi aljabar lanjutan seperti penjumlahan, pengurangan, penyederhanaan, maupun perbandingan antar pecahan.

Prinsip Dasar (Trik Angka 1)

Kita mengalikan pecahan asal dengan bentuk khusus angka $1$, yaitu $\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}}$. Karena perkalian dengan $1$ tidak mengubah nilai pecahan.

Rumus Umum Prinsip Dasar

$$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} \times 1 = \frac{a}{\sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}}$$

Konsep Bentuk Sekawan

Kunci merasionalkan penyebut berbentuk penjumlahan atau pengurangan akar adalah mengalikan dengan bentuk sekawannya berdasarkan sifat beda kuadrat:

Rumus Beda Kuadrat:

$$(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$$

Ketika $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ dikalikan dengan $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$, hasilnya menjadi $(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b$ (Akar Hilang!).

Bentuk Awal

$$\sqrt{a} + \sqrt{b}$$

Bentuk Sekawan

$$\sqrt{a} - \sqrt{b}$$

Bentuk Awal

$$a + \sqrt{b}$$

Bentuk Sekawan

$$a - \sqrt{b}$$

4 Kasus Utama Merasionalkan Penyebut

Pilih jenis bentuk penyebut di bawah ini untuk melihat prosedur pengerjaan dan contoh soal lengkap.

Kasus 1 Akar Tunggal

Penyebut Berbentuk $\frac{b}{\sqrt{a}}$

Kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{a}$.

$$\frac{b}{\sqrt{a}} = \frac{b}{\sqrt{a}} \times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{b\sqrt{a}}{a}$$

Contoh 1:

Rasionalkan $\frac{3}{\sqrt{2}}$

$$\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$

Kasus 2 Akar dengan Koefisien

Penyebut Berbentuk $\frac{c}{b\sqrt{a}}$

Cukup kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{a}$.

$$\frac{c}{b\sqrt{a}} = \frac{c}{b\sqrt{a}} \times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{c\sqrt{a}}{b \cdot a}$$

Contoh 2:

Rasionalkan $\frac{5}{3\sqrt{2}}$

$$\frac{5}{3\sqrt{2}} = \frac{5}{3\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{5\sqrt{2}}{6}$$

Kasus 3 Penjumlahan/Pengurangan Dua Akar

Penyebut $\frac{c}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}$

Kalikan dengan bentuk sekawannya ($\sqrt{a} \mp \sqrt{b}$).

$$\frac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a - b}$$

Contoh 3 & 4:

Soal A: $\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} = \frac{2(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{3-5} = \frac{2(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{-2} = \sqrt{5}-\sqrt{3}$

---

Soal B: $\frac{6}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{6(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{7-5} = \frac{6(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2} = 3(\sqrt{7}+\sqrt{5})$

Kasus 4 Bilangan Bulat $\pm$ Akar

Penyebut $\frac{c}{a \pm \sqrt{b}}$

Kalikan dengan sekawannya ($a \mp \sqrt{b}$). Penyebut menjadi $a^2 - b$.

$$\frac{c}{a + \sqrt{b}} \times \frac{a - \sqrt{b}}{a - \sqrt{b}} = \frac{c(a - \sqrt{b})}{a^2 - b}$$

Contoh 5:

$$\frac{4}{3+\sqrt{2}} = \frac{4(3-\sqrt{2})}{3^2 - 2} = \frac{4(3-\sqrt{2})}{9-2} = \frac{12-4\sqrt{2}}{7}$$

Contoh Soal Campuran (Tingkat Lanjut)

Rasionalkan Penyebut dari $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$

Langkah 1: Kalikan dengan sekawan dari penyebut ($\sqrt{5}-\sqrt{2}$)

$$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2}$$

Langkah 2: Distribusikan perkalian pada pembilang dan sederhanakan penyebut

$$= \frac{2\sqrt{3 \cdot 5} - 2\sqrt{3 \cdot 2}}{5 - 2} = \frac{2\sqrt{15} - 2\sqrt{6}}{3}$$

Kalkulator Merasionalkan & Generator Langkah

Pilih pola pecahan yang ingin kamu rasionalkan, masukkan angkanya, dan perhatikan pembahasan langkah demi langkah secara sistematis!

Solusi Langkah demi Langkah:

Uji Pemahaman

Kuis & Latihan Soal Interaktif

Soal diambil dari Bagian F Latihan Mandiri.

Skor Kamu

0 / 6

Jawab semua soal untuk melihat evaluasi akhir!

D. Rangkuman Rumus Cepat

Gunakan tabel ringkas ini untuk membantu mengingat perkalian bentuk sekawan dengan cepat.

Bentuk Penyebut Asal	Pengali (Sekawan)	Hasil Akhir Penyebut
$$\sqrt{a}$$	$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$$	$$a$$
$$b\sqrt{a}$$	$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$$	$$b \cdot a$$
$$\sqrt{a} + \sqrt{b}$$	$$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$$	$$a - b$$
$$\sqrt{a} - \sqrt{b}$$	$$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$	$$a - b$$
$$a + \sqrt{b}$$	$$\frac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}}$$	$$a^2 - b$$
$$a - \sqrt{b}$$	$$\frac{a+\sqrt{b}}{a+\sqrt{b}}$$	$$a^2 - b$$

© 2026 Media Pembelajaran Interaktif Matematika - Merasionalkan Penyebut Pecahan

Posted by : BuSet September 01, 2026 Tags : Matematika

Subscribe by Email

Follow Updates Articles from This Blog via Email